2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычислить предел
Сообщение31.10.2014, 20:17 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
Вычислить предел
$\lim\limits_{n \rightarrow  \infty}\left( \frac{n+3}{n-2}\right)^{n+1}= \lim\limits_{n \rightarrow  \infty}\left( \frac{n-2+5}{n-2}\right)^{n+1}= \lim\limits_{n \rightarrow  \infty}\left( 1+\frac{5}{n-2}\right)^{n+1}= \lim\limits_{n \rightarrow  \infty}\left( 1+\frac{1}{\frac{n-2}{5}}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n \rightarrow  \infty}\left( 1+\frac{1}{\frac{n-2}{5}}\right)^{\frac{n-2}{5}\cdot\frac{5}{n-2}\cdot(n+1)}=\lim\limits_{n \rightarrow  \infty}e^{\frac{5n+5}{n-2}}=\lim\limits_{n \rightarrow  \infty} e^{ \frac{n\left(5+\frac{5}{n}\right) }{n\left( 1-\frac{2}{n} \right)} }=
e^5$

Имеются ли ошибки в вычислениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение31.10.2014, 20:29 


26/11/11
134
Всё верно

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение31.10.2014, 20:34 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
BAHOO в сообщении #924830 писал(а):
Всё верно

но у меня вопрос: сходится ли последовательность $\left(\left( \frac{n+3}{n-2}\right)^{n+1}\right)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение31.10.2014, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Чем эта последовательность отличается от той, предел которой Вы только что нашли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение31.10.2014, 20:43 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Ёж, конечно сходится. Посмотрите параграф в Пискунове по 2-му замечательному пределу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение31.10.2014, 20:48 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
А как быть членом $a_2$ данной последовательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение31.10.2014, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Если Вы говорите, что это последовательность, то мы Вам верим, так как думаем, что Вы думаете, что $n>2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение04.11.2014, 20:47 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
bot в сообщении #924845 писал(а):
Если Вы говорите, что это последовательность, то мы Вам верим, так как думаем, что Вы думаете, что $n>2$.


Спасибо!
А если вычисляем предел функции $\lim\limits_{x \rightarrow  \infty}\left( \frac{x+3}{x-2}\right)^{x+1},$ то полагаем, что $x\ne2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение04.11.2014, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
При вычислении предела, собственно, нам важно поведение последовательности/функции в окрестности предельной точки. Для $x\to +\infty$ учитываются достаточно большие $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение04.11.2014, 20:55 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
Правильно ли:
1. $\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=A \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow a}f(n)=A, $
2. $\lim\limits_{n \rightarrow a}f(n)=A \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=A. $
где $f(x)$ - функция, а $(f(n))$ - последовательность, $a, A$ - число или бесконечность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение04.11.2014, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Не очень понятен вопрос. Вы имеет в виду, что $n$ - натуральное, а $x$ - вещественное? Тогда второе высказывание неверно. Впрочем, и первое не очень понятное. Что значит $n\to a$, если $a$ - конечное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение04.11.2014, 21:03 


20/03/14
12041
Ёж
А Вы как думаете?
И м.б. $n\to\infty$, раз уж последовательность.
 i  Просьба под новые задачи создавать новые темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение04.11.2014, 21:21 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
:oops:
1. $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=A \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f(n)=A, $
2. $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f(n)=A \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=A. $
где $f(x)$ - функция, а $(f(n))$ - последовательность, $ A$ - число или бесконечность.[/quote]

-- Вт ноя 04, 2014 22:24:07 --

Lia в сообщении #926657 писал(а):
Ёж
А Вы как думаете?
И м.б. $n\to\infty$, раз уж последовательность.


Думаю, что и первое и второе правильно. Но есть сомнения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение04.11.2014, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
$\sin\pi x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел
Сообщение04.11.2014, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Первое правильно, если считать, что функция $f$ в обоих случаях одна и та же и, следовательно, задана на (достаточно больших) натуральных числах. А вот второе - неверно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group