2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение31.10.2014, 09:15 
Заморожен


14/03/14
223
$a$ и $b$ — это неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел, которые связаны соотношением $$b = (e - a) ^ {-1}.$$ $e$ — единичная матрица.

Если мы начнем увеличивать все или некоторые элементы матрицы $a$, но так, чтобы матрица $b$ продолжала существовать и оставалась неотрицательной, то элементы матрицы $b$ будут расти или, как минимум, не будут уменьшаться. Как это доказать?

Это задача из экономики, из модели межотраслевого баланса. Матрица $a$ называется матрицей коэффициентов прямых затрат, а матрица $b$ - матрицей коэффициентов полных затрат. При такой интерпретации матриц экономический смысл задачи очевиден и очевидно истинен: когда растут прямые затраты, растут и полные.

Хотелось бы узнать, существует ли строгое доказательство этого очевидного факта. В тех учебниках, которые я видел, динамика коэффициентов не рассматривается. Ссылки на литературу, касающуюся этого интересного для меня вопроса, принимаются с благодарностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение31.10.2014, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
A_Nikolaev в сообщении #924682 писал(а):
$a$ и $b$ — это неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел, которые связаны соотношением $$b = (e - a) ^ {-1}.$$

неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел - что это такое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение31.10.2014, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Ну, например, так:
$B=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\ldots+A^n+\ldots$
(кстати, это тождество хорошо интерпретируется экономически).
Очевидно, что если все элементы А неотрицательны, то при увеличении любого из них сумма справа возрастает.

-- 31 окт 2014, 11:33 --

TOTAL в сообщении #924701 писал(а):
A_Nikolaev в сообщении #924682 писал(а):
$a$ и $b$ — это неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел, которые связаны соотношением $$b = (e - a) ^ {-1}.$$

неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел - что это такое?


(Оффтоп)

Дешифрую.
Квадратные матрицы, составленные из неотрицательных рациональных чисел.
Роты капитана Очевидность сержант-вычислитель С. Овпало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение31.10.2014, 13:05 
Заморожен


14/03/14
223
Евгений Машеров, спасибо!

Тождество $B=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\ldots+A^n+\ldots$ я встречал, но применить его к доказательству не догадался.

Экономический смысл степеней матриц прямых затрат мне понятен. Матрица в степени $A^n$ — это матрица косвенных затрат n-ого порядка. Но для меня не ясна интерпретация единичной матрицы в самом начале бесконечного ряда. Наверное, это $A^0$, но что это значит?

Я не помню, доказывается ли само тождество в учебниках. Но я посмотрю. Сейчас их просто нет под рукой.

(Оффтоп)

TOTAL, извините меня, совсем не математика и даже не экономиста, если сформулировал коряво. Я думал, что можно сказать "матрица чисел" и, следовательно, можно сказать "матрица рациональных чисел". А уточнить, что числа рациональные, хотелось, ведь, наверное, бывают и матрицы составленные из комплексных чисел. Хотя, может быть, для доказательства это и не важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение31.10.2014, 13:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Евгений Машеров в сообщении #924704 писал(а):
Ну, например, так:
$B=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\ldots+A^n+\ldots$
(кстати, это тождество хорошо интерпретируется экономически).

Но далеко не всегда хорошо математически...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение31.10.2014, 19:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Небольшой комментарий в сторону:
A_Nikolaev в сообщении #924723 писал(а):
Я думал, что можно сказать "матрица чисел" и, следовательно, можно сказать "матрица рациональных чисел". А уточнить, что числа рациональные, хотелось, ведь, наверное, бывают и матрицы составленные из комплексных чисел. Хотя, может быть, для доказательства это и не важно.
(1) Странноватое словоупотребление — «матрица чисел». Обычно говорят что-то типа «матрица над (такими-то) числами» (ну и по-другому, но те варианты меньше похожи).
(2) Матрицы действительно могут состоять из чего угодно (это же просто функции, сопоставляющие месту в матрице какое-то значение), хотя рациональность в данном случае — ненужное ограничение. В самый раз будут вещественные (a. k. a. действительные) числа. Если бы числа были комплексные, их нельзя было бы сравнивать, так что ваше желание уточнить действительно уместно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение31.10.2014, 19:45 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Евгений Машеров в сообщении #924704 писал(а):
Ну, например, так:$B=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\ldots+A^n+\ldots$
Очевидно, что если все элементы А неотрицательны, то при увеличении любого из них сумма справа возрастает.
менее очевидно, почему ряд в правой части сходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение31.10.2014, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
А тут надо специфику данных вспомнить. Что это коэффициенты затрат. И оценить собственные значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение01.11.2014, 10:55 
Заморожен


14/03/14
223
A_Nikolaev в сообщении #924723 писал(а):
Но для меня не ясна интерпретация единичной матрицы в самом начале бесконечного ряда.

Если записать так:$$x=By=(I-A)^{-1}y=y+Ay+A^2y+\ldots ,$$ то смысл проясняется. Здесь $x$ — это вектор-столбец валового продукта, а $y$ — это вектор конечного продукта. Получается, что валовый продукт раскладывается на конечный продукт ($y$), прямые ($Ay$) и косвенные затраты разных порядков ($A^ny$).

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #924793 писал(а):
Обычно говорят что-то типа «матрица над (такими-то) числами» (ну и по-другому, но те варианты меньше похожи).

Спасибо, учту. А можно ли сказать "матрица из каких-то чисел"? Или надо обязательно "матрица составленная из каких-то чисел"? "Матрица над числами" для меня звучит странно. Представляется нечто висящее... над числами. :o


Евгений Машеров в сообщении #924850 писал(а):
patzer2097 в сообщении #924803 писал(а):
менее очевидно, почему ряд в правой части сходится

А тут надо специфику данных вспомнить. Что это коэффициенты затрат. И оценить собственные значения.

Я попробую сформулировать, как я это понимаю. Поправьте, пожалуйста, если ошибаюсь.
  1. Прямые затраты не должны быть больше валового выпуска ($Ax \leqslant x$), иначе такая производственная система долго не протянет. На математическом языке это формулируется так: максимальное собственное значение матрицы $A$ меньше единицы и больше нуля. Это значит, что при умножении матрицы на положительный вектор он будет укорачиваться (и поворачиваться, приближаясь к направлению соответствующего собственного вектора матрицы).
  2. Раз максимальное собственное значение матрицы $A$ меньше единицы, то элементы матрицы $A^n$ стремятся к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности, а сумма ряда сходится. (Тут по аналогии с убывающей геометрической прогрессией, которую когда-то в школе проходили.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение01.11.2014, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Ну, я бы через круги Гершгорина оценивал бы. Учитывая при этом, что внедиагональные элементы это доли продукции i- той отрасли в продукции j-той. И сумма их не может быть больше единицы, места для прибыли и зарплаты не останется.
Но вывод тот же - с.з. меньше единицы по абсолютной величине, так что данный ряд сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение01.11.2014, 16:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

A_Nikolaev в сообщении #925013 писал(а):
А можно ли сказать "матрица из каких-то чисел"? Или надо обязательно "матрица составленная из каких-то чисел"? "Матрица над числами" для меня звучит странно. Представляется нечто висящее... над числами. :o
Не знаю, насколько в ходу «матрица из чисел». :-) Обычно о том, откуда берутся элементы матрицы, можно узнать по формулам, в которые она входит, или если явно напишут что-то типа $A\in\mathbb R^{2\times3}$ (матрица $2\times3$ действительных чисел).

Может, с «матрицей над» я немного загнул. Это параллель конструкциям «векторное пространство/модуль/etc. над». А, ещё будет понятно «вещественнозначная/комплекснозначная/целочисленная матрица», но в общем случае так не сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что матрица не уменьшается?
Сообщение01.11.2014, 19:54 
Заморожен


14/03/14
223
Спасибо всем за ответы. Потихонечку начинаю понимать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group