Обращение фурье

[chem_victory]

Доброго времени суток.
подскажите, как можно по-быстрому(и почему так можно) обращать преобразование фурье.
Например (дано -> следует из дано путем каких-то манипуляций):

1) $ f(t-a) \sim e^{-iwa} F(w) \Leftrightarrow e^{iat} f(t) \sim F(w-a) $

2) $ \frac{d^n f(t)}{dt^n} \sim (iw)^nF(w) \Leftrightarrow t^nf(t) \sim i^n \frac{d^n F(w)}{dw^n}$

3) $ \frac{1}{t} \sim -i \sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(w) \Leftrightarrow sgn(t) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi}}(iw)^{-1} $

Заранее весьма благодарен!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 29.10.2014, 14:16 --

Вопрос неясен. Вы спрашиваете, откуда следуют стандартные свойства преобразования Фурье?
Уточните.

[chem_victory]

Lia в сообщении #924052 писал(а):

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 29.10.2014, 14:16 --

Вопрос неясен. Вы спрашиваете, откуда следуют стандартные свойства преобразования Фурье?
Уточните.

Есть некоторая функция, и её образ.
Из этой связи можно составить еще одну парочку, на примере тех, что приведены выше.
Я не понимаю как это сделать, взято отсюда:
вики

[Lia]

Это - именно стандартные свойства преобразований Фурье. Они доказываются в любом стандартном курсе, который вынужден использовать этот аппарат, или в курсе математического анализа. В Зориче (том 2), например. Изучите. Можете попробовать доказать самостоятельно, те свойства, которые привели Вы, доказываются достаточно просто.

[chem_victory]

Lia в сообщении #924062 писал(а):

Это - именно стандартные свойства преобразований Фурье. Они доказываются в любом стандартном курсе, который вынужден использовать этот аппарат, или в курсе математического анализа. В Зориче (том 2), например. Изучите. Можете попробовать доказать самостоятельно, те свойства, которые привели Вы, доказываются достаточно просто.

ммм.. я прочел, но ответа там не увидел. Может, я не корректно объяснился.
Из свойств фурье, или ручками, известно, что:
$ \frac{1}{t} \sim -i \sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(w) $ (1)

Верно также следующее:

$ sgn(t) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi}}(iw)^{-1} $ (2)

вики утверждает, что какими-то манипуляциями, из 1 можно легко получить 2.
Вопрос в определении этих манипуляций(видно, что с точностью до переобозначений и переносов коэффицентов они сходятся).

[Lia]

Вот теперь ясно. Попробуйте сделать одну простую вещь: для Вашей пары

chem_victory в сообщении #924078 писал(а):

$ \frac{1}{t} \sim -i \sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(w) $

записать а) определение преобразования Фурье и б) обратного преобразования Фурье, подставив нужные функции в нужные места. Если теперь внимательно на это посмотреть, то, может, что и увидите.

[chem_victory]

Lia в сообщении #924123 писал(а):

Вот теперь ясно. Попробуйте сделать одну простую вещь: для Вашей пары

chem_victory в сообщении #924078 писал(а):

$ \frac{1}{t} \sim -i \sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(w) $

записать а) определение преобразования Фурье и б) обратного преобразования Фурье, подставив нужные функции в нужные места. Если теперь внимательно на это посмотреть, то, может, что и увидите.

$ -i \sqrt{\frac{\pi}{2}} sgn(w) = \frac{1}{\sqrt{{2\pi}}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t} e^{-iwt} dt $ // Прямое.
$ \frac{1}{t} = \frac{1}{\sqrt{{2\pi}}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} -i \sqrt{\frac{\pi}{2}} sgn(w) e^{iwt} dw $ // обратное.

Пытался переобозначать переменные, однаок ничего не вышло. пристальный взгляд тоже не помог :(

[Otta]

Ну допишите под всем этим то, что хотите получить. Авось полегчает.

[chem_victory]

Otta в сообщении #924168 писал(а):

Ну допишите под всем этим то, что хотите получить. Авось полегчает.

$ -i \sqrt{\frac{\pi}{2}} sgn(w) = \frac{1}{\sqrt{{2\pi}}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t} e^{-iwt} dt $ // (1) Прямое.
$ \frac{1}{t} = \frac{1}{\sqrt{{2\pi}}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} -i \sqrt{\frac{\pi}{2}} sgn(w) e^{iwt} dw $ // (2) обратное.
$ sgn(t)= \frac{1}{\sqrt{{2\pi}}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} -\frac{i}{w} \sqrt\frac{2}{\pi} e^{iwt} dw $ // (3) хочется

Домножаем (1) на $ i \sqrt\frac{2}{\pi} $
получаем:

$ sgn(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} i \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{t} e^{-iwt} dt $ (4)

как (2) использовать -- неясно

[Otta]

chem_victory в сообщении #924172 писал(а):

как (2) использовать -- неясно

А сильно хочется поиспользовать? У Вас все есть, а напрячься и это увидеть и увидеть, как мало осталось с этим сделать, это все-таки Ваше.
(3) исправьте, почему там $i$ в числителе, не очень ясно.

[chem_victory]

Otta в сообщении #924180 писал(а):

chem_victory в сообщении #924172 писал(а):

как (2) использовать -- неясно

А сильно хочется поиспользовать? У Вас все есть, а напрячься и это увидеть и увидеть, как мало осталось с этим сделать, это все-таки Ваше.
(3) исправьте, почему там $i$ в числителе, не очень ясно.

$ sgn(t) = i \sqrt\frac{2}{\pi} \frac{1}{t} $ ?
при подставлении сюда (2) получается тривиальность :(
можно ли делать в 4 замену?

если можно, то получается, что

$sgn(t') \sim \frac{i}{w'}\sqrt\frac{2}{\pi}$ (должно быть с минусом)

[Otta]

chem_victory в сообщении #924183 писал(а):

$ sgn(t) = i \sqrt\frac{2}{\pi} \frac{1}{t} $ ?

Что за равенство?

chem_victory в сообщении #924183 писал(а):

при подставлении сюда (2) получается тривиальность :(

Как в него подставить (2) и какая тривиальность получится?

chem_victory в сообщении #924183 писал(а):

можно ли делать в 4 замену?

Смотря чего и смотря насколько аккуратно. Можно все, что можно по правилам.

Но Вы не ищете легких путей.

chem_victory в сообщении #924172 писал(а):

$ sgn(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} i \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{t} e^{-iwt} dt $ (4)

Это у Вас есть.

chem_victory в сообщении #924172 писал(а):

$ sgn(t)= \frac{1}{\sqrt{{2\pi}}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} -\frac{i}{w} \sqrt\frac{2}{\pi} e^{iwt} dw $

Это нужно получить.
Что мешает? Мешает ровно одно - показатель у экспоненты. Ну так замените уже в равенстве параметр на то, что хочется, и воспользуйтесь простейшими свойствами сигнума.

[profrotter]

Предполагаю речь идёт о свойстве симметрии преобразования Фурье. Тут нужно отвлечься от конкретных примеров и доказать общее утверждение: Если $s(t)$ имеет спектральную плотность $S(\omega)$, то сигнал $S^{*}(t)$ имеет спектральную плотность $2\pi s^{*}(\omega)$.
Для доказательства надо записать преобразование Фурье $S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-j\omega t}dt$, выполнить комплексное сопряжение от правой и левой частей записанного равенства, изменить обозначения, написав вместо $\omega$ буковку $t$ и наоборот. Умножить интеграл в правой части равенства на единицу в виде $\frac{2\pi}{2\pi}$ и выполнить прямое преобразование Фурье от левой и правой частей записанного равенства. Но это проделать хорошо бы самостоятельно.

[Otta]

Поскольку речь идет именно о конкретном примере, в котором можно обойтись малой кровью, практически ничего не делая, то есть смысл обойтись ею.
Ну или да, доказывать общее утверждение, а потом его применять. Тоже нетрудно.

[chem_victory]

Otta в сообщении #924216 писал(а):

Что мешает? Мешает ровно одно - показатель у экспоненты. Ну так замените уже в равенстве параметр на то, что хочется, и воспользуйтесь простейшими свойствами сигнума.

Всё получилось, спасибо!

profrotter в сообщении #924235 писал(а):

Предполагаю речь идёт о свойстве симметрии преобразования Фурье. Тут нужно отвлечься от конкретных примеров и доказать общее утверждение: Если $s(t)$ имеет спектральную плотность $S(\omega)$, то сигнал $S^{*}(t)$ имеет спектральную плотность $2\pi s^{*}(\omega)$.
Для доказательства надо записать преобразование Фурье $S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-j\omega t}dt$, выполнить комплексное сопряжение от правой и левой частей записанного равенства, изменить обозначения, написав вместо $\omega$ буковку $t$ и наоборот. Умножить интеграл в правой части равенства на единицу в виде $\frac{2\pi}{2\pi}$ и выполнить прямое преобразование Фурье от левой и правой частей записанного равенства. Но это проделать хорошо бы самостоятельно.

Да! именно этот вопрос интересовал меня, огромное спасибо!

Подскажите еще вот что, чему равно преобраование $ sgn(x) $ ?
я прочёл ваше сообщение где вы выводите образ Хевисайда. как сделать аналогично для сигнума? Как вы и писали в том посте, дифференцировать, чтобы затем воспользоваться известным образом дельты функции здесь нельзя, т.к на бесконечности сигнум не заваливается.

$ \theta(x) = \frac{1}{2} (sgn(x) + 1) $

подействуем прямым преобразованием, и в силу линейности получим:

$ \pi \delta(w) +\frac{1}{iw} = \pi \delta(w) + \frac{1}{2} F\lbrace sgn(t) \rbrace $

$ F \lbrace sgn(t) \rbrace =\frac{2}{iw} $

Вики утвержает, что

$ F \lbrace sgn(t) \rbrace =\frac{1}{iw} $

Можно попробовать так:

$ sgn(t)= \theta(t) - \theta(-t) $

$ F \lbrace sgn(t) \rbrace = \pi \delta(w) + \frac{1}{iw} - F \lbrace \theta(-t) \rbrace $

$F \lbrace \theta(-t) \rbrace = \overline{F \lbrace \theta(t) \rbrace} $

$F \lbrace sgn(t) \rbrace = \frac{2}{iw} $

Что есть правда?