Представляю участникам Форума вариант док-ва ТФ методом
элементарной м-ки на 5-ти стр. Основную часть занимает поясняющий текст.
К сожалению я не смог вставить в текст рисунок, но его легко начертить по описанию в тексте. Если возникнет желание у участников Форума, то я вышлю на их E-mail и картинку и подробное (с примерами) док-во.
Opttimist.
Применение Бинома Ньютона,
рац. и иррац. чисел для док-ва теоремы Ферма.
Дано:
(1), X и Y – целые положительные числа, n>2 – целое положительное число.
Требуется доказать:
^(1/n) (2) не может быть целым положительным числом.
Доказательство:
Рассмотрим Множество положительных чисел:
^(1/2) ,
^(1/3),...,
^(1/n). (3)
Численные значения элементов каждого Подмножества:
рассматриваемого Множества, зависят только от величины показателя степени n, т.к. элементы X и Y, в соответствующем Подмножестве, постоянны. Принимаем при доказательстве: X>Y и отмечаем , что X и Y симметричны в уравнениях (1) , (2) и (3).
Если
– решение, то
- тоже решение. Для наглядности доказательства очертим полуокружность с центром в точке О, радиусом, численно равным Y. Через т.О проведём взаимно перпендикулярные оси – x и y. На оси x, справа от т.О отложим отрезок, численно равный X (прямая ОС). Слева от т. О отложим отрезок, численно равный Y (прямая ОА). Отрезок АС = ОС + АО =
В т.А показатель степени n = 1.
Вращая отрезок ОА с центром в т.О, достигнем т.В, где n = 2. Соединив т.В с т.С, получим прямоугольный тр-к ОВС, в котором
ВС
^(1/2). Между т.т. А и В по дуге АВ расположено множество точек, в которых показатели степени больше 1 и меньше 2. Причём, в некоторых промежуточных точках,
=целому числу. Продолжая движение по часовой стрелке, достигаем т.3, в которой n = 3. Соединив эту точку с т.С и с т.О, получаем тр-к О3С, в котором
3С =
^(1/3), 3О =Y, ОС = X.
Далее достигаем т.N. Соединяем её с т.О и с т.С. Сторона полученного тр-ка NС =
^(1/n), ОN=Y, ОС =X.
Продолжая вращение ОА =Y, попадаем в т.Р. Соединяем её с т.О и с т.С. Точка P характерна тем, что расстояние от неё до т.С = X.
А это значит, что PC
Поэтому эта точка P не относится к зоне действия теоремы Ферма.
Дуга АВ3NР– это место расположения всех показателей степени n Множества
Дуга 3NР, составленная из показателей степени от n>=3 - часть этого Множества, только для которой действительна теорема Ферма, исключая точку Р.
Теперь приступим непосредственно к доказательству теоремы.
В М-ве (3) все элементы зависят от одних и тех же X и Y (для каждого конкретного случая).
В рассматриваемом М-ве
^(1/n), причём
. Обозначим разницу, между
и X ,
Тогда:
Длина отрезка NС =
( 4 ). Тогда:
^(1/n) ( 5 ).
Предположим, что в М-ве (3)
- натуральное число. Тогда и
будет натуральным числом. При этом,
Возведя левую и правую части ур-ния (5) в степень n, получим:
^(1/n))
( 6 ).
Развернём, сократим и перенесём все элементы этого ур-ния в левую часть.
Получим:
^(n-1)+
^(n-2)+
^(n-3)+...+
^(n-1)
= 0 (9). Составив таблицу возможных рац. корней, выбираем для проверки корни:
.
, только для n=1. При этом,
В принятом выше методе док-ва величины всех элементов ур-ния (9), а именно:
взаимосвязаны и, в каждом конкретном сочетании, будут иметь одно конкретное значение.
Проверим на рациональность корни 1 и
в ур-нии (9) для n=2. Тогда ур-ние примет вид:
=0 (10). Подставив в (10),
=1, X=4, Y=3, видим, что этот корень рационален, а
=Y. Подставив в (10),
после упрощений, сокращений и переносов получим:
(12). Составим из ур-ния (12) пропорцию:
(13).
Как один из вариантов уравнения (13), принимаем:
(14) и
(15). Назовём этот вариант Базовым рядом (БР). БР - это П/М, в котором входящие в него
определяются по (14) и (15). Для проверки рациональности корня
подставим (14) и (15) в уравнение (3), приняв показатель степени n=2. Тогда:
^(1/2)=
^(1/2)=
^(1/2) =
(
^(1/2)=
То есть:
(16).
Здесь, для условий ТФ,
– целое положительное число, а
является натуральным числом. В БР, всегда, число:
(16а). Из ур-ния (12) имеем:
(17). В уравнении (17) выражается взаимная зависимость в БР натуральных
от натуральных значений
при натуральном корне
Примечание: В БР, при рациональном (дробном) значении
всегда, будут рациональными числами. При этом,
определяющий в
БР натуральные величины
должен быть больше
1/(2^(1/2) - 1)=2.4142....
Т.е.,
>1/(2^(1/2) - 1), так как, в противном случае,
X<=Y. По этой же причине должны быть:
>1/(2^(1/3) - 1),
>1/(2^(1/4) - 1),...,
>1/(2^(1/n) - 1). А это значит, что для выполнения условия Ферма, минимальное натуральное
В М-ве (3)
Рассмотрим ур-ние (9) с n=3 и n=4.
Для n=3, ур-ние (9) примет вид:
(19).
Для n=4, ур-ние (9) примет вид:
(20). Подставив, соответственно, в (19) и в (20) :
получим:
(19)
(20). Проверим в БР ур-ние (9) на рациональность корня
и
соответственно с
и с
. В ур-нии (19): для
левая часть ур-ния равна 1, для
левая часть ур-ния равна 209, а, только, разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 163.
В ур-нии (20): для
левая часть ур-ния равна 1169 а, только, разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 752, для
левая часть ур-ния равна 10815, а только разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 9404.
Из вышеизложенного, делаем вывод: “Ур-ния (19) и (20) – ложны.” Поэтому, они не имеют натурального корня в БР, да и в Подобном ряду, (см. ниже), т.к. при увеличении
разница между X и Y увеличивается. Всё это позволяет утверждать, что
и
не могут быть натуральными числами, при условиях ТФ. Теперь, рассмотрим в БР ур-ние общего вида (9) совместно с (19) и (20), учитывая только наибольший положительный элемент этих ур-ний, (за исключением (19) с
и всю отрицательную часть.
Предположим, что в БР или
, или
, или,..., или
. В этом случае, ур-ния (19), (20) и (9) будут выглядеть:
(19а)
(20b)
^(n-2)*1 -
^(n-1)=0 (9c)
^(n-1)*1 -
(9b)
Из сравнения этих ур-ний видно, что разница между последующим и предыдущим ур-ниями такова:
Положительная часть увеличивается в
раз, а отрицательная в
раз. Без сомнения,
.
Если увеличить или уменьшить X и Y в БР в d раз, то получится новое П/М, подобное БР. Назовём его – Подобный ряд. Чтобы отличить величины Подобного ряда, обозначим их индексом “ pr “. В этом случае, изменятся в d раз:
Это доказывается так:
^(1/n)=
^(1/n) (18)
Ур-ния Подобного ряда будут выглядеть так:
(17а),
(14а) ,
(15а),
(16),
(16а).
Рядов, подобных Базовому, множество. Вместе с БР они составляют Блок подобных рядов, организуемый коэффициентом
который, вместе с
не изменяется в Блоке подобных рядов.
может быть дробным рац. числом, но, в этом случае,
X, а Y (за исключением
и т.д) будут дробными рац. числами в БР. Однако, в подобных рядах, увеличенные в соответствующее d раз,
станут, одновременно, натуральными числами. В Подобных рядах, при рац.(дробных)
числo
может быть как натуральным, так и рац. числом. С увеличением
и
разница между положительной и отрицательной частями ур-ний (19а), (20 b), (9 b) и (9с) увеличится. А если рассматривать ур-ние (9b) с
без сравнения с ур-ниями (19а), (20b) и (9с), в таком виде:
^(n-1)
(9b), то, используя полученные выше результаты для n=3 и n=4, видим, что при увеличении
и
разница между положительной и отрицательной частями этого ур-ния увеличивается, т.к. X возрастает на большую величину, чем Y.
Всё вышеизложенное даёт основание утверждать, что при
в БР, и в соответствующих подобных рядах, нет натуральных
, рациональных для ур-ния (9), при натуральном n>2.
Значит, такое ур-ние ложно. Это даёт основание полагать, что при X и Y - натуральных числах, и n>2, натуральном числе,
не являются натуральными числами, т.е. они, в лучшем случае, могут быть, дробными. В БР и в Подобных рядах всегда:
Выше упоминалось, что рац. корень
полученный из ур-ния (9), даёт право для определения М-ва
Представляются дополнительные аргументы: Определим X и Y, воспользовавшись ур-нием (17), подставив их в ур-ние
^(1/n)
затем в (9). Результат, во всех случаях, равен 0(нулю). Это даёт основание полагать, что полученный, в этом случае,
является корнем ур-ния (9), но иррациональным.
Аргументы, выдвигаемые в защиту полученного док-ва:
1. В Базовом и подобных рядах соответствующие X и Y
всегда имеют одно и то же численное значение, независимо от численного значения n.
2. В Базовом ряду при
и
X и Y, натуральных числах:
3. Предположим, что в БР
дробное рац. число -
Увеличим его в d раз, чтобы число
стало равно 1.
Т.е.
В этом случае, ур-ние
^(n-1)
(9b) будет выглядеть:
^(n-1)*1
(9d)
Сравнивая (9b) и (9d), видно, что разница между положительным и отрицательным элементами в ур-нии (9d), по сравнению с (9b), увеличивается . Это обозначает, что уравнение (9d) – ложно. Т.е. дробное
не может быть рац. корнем при X, Y и n=>3 – натуральных числах.
Т.е. дробное
иррационально. Это приводит к выводу, что
- иррационально. Рациональные корни
определены из ур-ния (9), общего для всех
При этом установлено, что все возможные рац. корни
при соблюдении условия 1/(2^(1/2) - 1)<
являются рациональными корнями уравнения (9) только для показателя степени n=2, а для натуральных n=>3 – нет рациональных корней.
5.
может быть корнем ур-ния (9) при n=>3 – натуральных числах, но только иррациональным.
6. В подобных рядах:
изменяются пропорционально коэф. d, оставаясь иррациональными числами.
Ранее упоминалось М-во чисел:
^(1/2) ,
^(1/3),...,
^(1/n). (3)
Предлагается разделить его на два П/М :
1. Бессистемное Подмножество :
В него входят любые случайные, целые положительные числа
X и Y. Основным признаком этого Подмножества является то, что число
=
^(1/2) - иррационально.
2. Системное Подмножество:
В этом П/М
=
^(1/2) является рациональным числом. Это П/М рассмотрено выше.
Системное П/М состоит из Блоков, составленных из Подобных рядов. Блоков в Системном Подмножестве – бесчисленное множество. Каждый Блок организуется рац. числом
от которого зависят численные значения X и Y в Базовом и Подобном рядах Блока, определяемые по формулам Базового и Подобного рядов. Ряды, входящие в Блок, подобны Базовому ряду. Подобных рядов в Блоке – бесчисленное множество.
Возможные рац корни ур-ния (9).
^(n-1)
(n-2)
^(n-2,
^(n-1),
^(n-1)
^(n-2))
^(n-3)
^(n-2)
^(n-1)
optimist: e-mail:
semge@yandex.ru
.