2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 11:22 


22/07/12
560
$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} \sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n!}$
Оба ряда абсолютно сходятся, значит остаётся только найти их суммы и перемножить.
Сразу предупреждаю, что тут пользоваться разложением в ряд Тейлора нельзя, так как к этому моменту степенные ряды ещё не пройдены.
1 ряд:
$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}$
Я смутно припоминаю, что я где-то читал, про нахождение суммы такого ряда, там вроде как-то использовали 2 замечательный предел, но я совершенно не помню, где я это находил и что конкретно там делалось. Просьба подсказать хотя бы начало рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вы себе противоречите. Если ряды не пройдены, то их не нужно находить по отдельности. Так-то найти можно: это ряд для экспоненты, левая сумма равна $e$, правая - $1/e$, бумажку сжечь, сказать "бог надоумил". Этого не нужно, нет. Перемножайте в лоб и переходите к суммированию по диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 11:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #923410 писал(а):
$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} \sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n!}$

Во-первых, так писать нельзя: если две суммы присутствуют в одном и том же выражении, то переменные суммирования должны обозначаться разными буквами. Во-вторых, затем поменяйте порядок суммирования, взяв в качестве внешней сумму по новой переменной $m=n+k$, а в качестве внутренней (т.е. при фиксированном $m$) одну из старых; скажем, $n$. В-третьих, после этого достаточно будет вспомнить про бином Ньютона.

-- Пн окт 27, 2014 12:31:47 --

ИСН в сообщении #923413 писал(а):
Если ряды не пройдены,

Степенные ряды не пройдены, и это ничему не противоречит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 11:45 


22/07/12
560
ewert в сообщении #923414 писал(а):
Во-первых, так писать нельзя: если две суммы присутствуют в одном и том же выражении, то переменные суммирования должны обозначаться разными буквами.

Хмм, а в учебнике именно так и написано, наверное опечатка.
ewert в сообщении #923414 писал(а):
Во-вторых, затем поменяйте порядок суммирования, взяв в качестве внешней сумму по новой переменной $m=n+k$, а в качестве внутренней (т.е. при фиксированном $m$) одну из старых; скажем, $n$.

Вот тут мне совершенно не ясно, что Вы имели ввиду.
ewert в сообщении #923414 писал(а):
В-третьих, после этого достаточно будет вспомнить про бином Ньютона.

Вспомню, если разберусь с "Во-вторых" :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это то же самое, что я говорю:
ИСН в сообщении #923413 писал(а):
Перемножайте в лоб и переходите к суммированию по диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 11:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Или, что то же самое:
произведение рядов. Формула есть. Применяйте. (Или учитесь перемножать сами, ручками).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 12:08 


22/07/12
560
Otta в сообщении #923422 писал(а):
Или, что то же самое:
произведение рядов. Формула есть. Применяйте. (Или учитесь перемножать сами, ручками).

Сумма их произведения равна сумме ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n$, где $c_n = a_0b_n + ... + a_nb_0$, так же я вывел такие вот формулы:
$c_n = 0$, при нечётном $n$.
$c_0 = a_0b_0$
$c_n = 2(a_0b_n + ... + a_{k-1}b_{n-k+1}) + a_{k}b_{k}$, при чётном $n > 0, \ k = n/2$.
Там кучу факториалов, я не понимаю, как мне дальше с ними бороться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 12:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #923425 писал(а):
$\sum\limits_{n=0}^\infty c_n$, где $c_n = a_1b_n + ... + a_nb_1$

С индексами справа непорядок.

main.c в сообщении #923425 писал(а):
$c_n = 2(a_0b_n + ... + a_{k-1}b_{n-k+1}) + a_{k}b_{k}$, при чётном $n, \ k = n/2$.

А вот здесь предыдущее исправлено, но: даже если это и правда (лень проверять), то совершенно не нужно.

main.c в сообщении #923425 писал(а):
Там кучу факториалов, я не понимаю, как мне дальше с ними бороться.
ewert в сообщении #923414 писал(а):
достаточно будет вспомнить про бином Ньютона.

main.c в сообщении #923418 писал(а):
Хмм, а в учебнике именно так и написано, наверное опечатка.

Скорее разгильдяйство, чем опечатка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 12:24 


22/07/12
560
ewert в сообщении #923429 писал(а):
С индексами справа непорядок.

Уже поправил
ewert в сообщении #923429 писал(а):
Скорее разгильдяйство, чем опечатка.

Ну я бы не стал Демидовича называть разгильдяем)) Или Вы имели ввиду разгильдяем того кто набирал текст?))

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 12:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #923430 писал(а):
Ну я бы не стал Демидовича называть разгильдяем)) Или Вы имели ввиду разгильдяем того кто набирал текст?))

Не знаю, но разгильдяйство это объективно, независимо от фамилий. Примерно так же, как неприлично (и вредно!) писать $\int\limits_0^xf(x)\,dx$, хотя многие это и любят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 12:49 


11/07/14
132
main.c, посмотрите произведение рядов по Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение27.10.2014, 12:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dmitry Tkachenko в сообщении #923442 писал(а):
main.c, посмотрите произведение рядов по Коши.

Он его знает, независимо от Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение30.10.2014, 09:29 


22/07/12
560
Так и не доделал эту задачу, решил вернуться к ней. Ну вот получил я формулы для общего члена ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n$
main.c в сообщении #923425 писал(а):
Сумма их произведения равна сумме ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n$, где $c_n = a_0b_n + ... + a_nb_0$, так же я вывел такие вот формулы:
$c_n = 0$, при нечётном $n$.
$c_0 = a_0b_0$
$c_n = 2(a_0b_n + ... + a_{k-1}b_{n-k+1}) + a_{k}b_{k}$, при чётном $n > 0, \ k = n/2$.
Там кучу факториалов, я не понимаю, как мне дальше с ними бороться.

В этих формулах: $a_n = \dfrac{1}{n!}, \ a_n = \dfrac{(-1)^n}{n!}$
По идее как действуют в таких задачах, находят формулу для частичной суммы, а затем находят предел частичной суммы. В моём случае:
$S_0 = a_0b_0$
$S_2 = a_0b_0 + a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0$
В данном случае $S_2 $ как-то можно упростить? И причём здесь бином Ньютона?

-- 30.10.2014, 10:27 --

Так, я нашёл общую формулу для частичной суммы:
$S_0 = a_0b_0$
$S_1 = a_0b_0 + a_0b_1 + a_1b_0 = (a_0b_0 + a_0b_1) + a_1b_0$
$S_2 = a_0b_0 + a_0b_1 + a_1b_0 + a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 = (a_0b_0 + a_0b_1 + a_0b_2) + (a_1b_0 + a_1b_1) + a_2b_0$
......
$S_n = \sum\limits_{k=0}^{n}$a_0b_k + \sum\limits_{k=0}^{n-1}$a_1b_k + \cdots + a_nb_0

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение30.10.2014, 10:32 


22/07/12
560
Но как мне теперь найти предел этой частичной суммы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти произведение рядов
Сообщение30.10.2014, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
main.c в сообщении #924343 писал(а):
По идее как действуют в таких задачах, находят формулу для частичной суммы, а затем находят предел частичной суммы.

Почти никогда так делать невозможно, кроме специально придуманных примеров.
Запишите, пожалуйста, чему равно одно $c_n$ - общее, без разделения на чётные и нечётные, ничего не сокращая, не упрощая и не вынося.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group