2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение07.10.2007, 20:55 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
А почему Друг Ч неправ? Ведь физическая нереализуемость эксперимента "приблизить точечные, обладающие ненулевой массой гантели очень близко к оси вращения" не может служить причиной отказа от попытки понять, что будет происходить, если этот эксперимент попробовать реализовать на практике.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2007, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну давайте считать (на школьном уровне). Пусть у нас есть точечный груз массы $m>0$, движущийся вокруг центра по окружности радиуса $r>0$ с угловой скоростью $\omega$. Тогда его скорость (перпендикулярная радиусу) равна $v=\omega r$, импульс - $p=mv=m\omega r$, момент импульса (относительно центра) - $M=pr=m\omega r^2$, кинетическая энергия $T=\frac{mv^2}2=\frac{m\omega^2r^2}2$, центростремительное ускорение груза - $a_{\text{ц}}=\omega^2r$, центростремительная сила, удерживающая груз на окружности - $F_{\text{ц}}=ma_{\text{ц}}=m\omega^2r$.
Предполагаем, что никакого трения нет.
Будем теперь медленно (чтобы можно было пренебречь радиальной компонентой скорости при расчёте кинетической энергии, момента импульса, ускорения и действующих сил) подтягивать груз к центру с помощью некоторого устройства, начиная с некоторого начального расстояния $r_0$ и до некоторого конечного расстояния $r_1$, $0<r_1<r_0$.
Так как момент импульса в этом процессе сохраняется (сила, подтягивающая груз к центру, проходит через центр и имеет нулевой момент относительно центра), то $\omega=\frac M{mr^2}$. Поэтому центростремительная сила, которую должно создавать подтягивающее устройство, равна $F_{\text{ц}}=m\omega^2r=\frac{M^2}{mr^3}$ (хорошо видно, что $F_{\text{ц}}\to\infty$ при $r\to 0$). Чтобы подтянуть груз от расстояния $r_0$ до расстояния $r_1$, нужно совершить работу
$$A=\int\limits_{r_1}^{r_0}F_{\text{ц}}dr=\int\limits_{r_1}^{r_0}\frac{M^2}{mr^3}dr=-\left.\frac{M^2}{2mr^2}\right|_{r_1}^{r_0}=\frac{M^2}{2mr_1^2}-\frac{M^2}{2mr_0^2}\text{,}$$
откуда видно, что $A\to\infty$ при $r_1\to 0$.
Эта работа идёт на увеличение кинетической энергии груза $T=\frac{m\omega^2r^2}2=\frac{M^2}{2mr^2}$: увеличение кинетической энергии груза при его приближении к центру от расстояния $r_0$ до расстояния $r_1$ равно $\frac{M^2}{2mr_1^2}-\frac{M^2}{2mr_0^2}=A$.

Таким образом, чтобы переместить груз в центр, требуется совершить бесконечно большую работу (где взять бесконечно большую энергию для этого?) и создавать в процессе перемещения груза неограниченно возрастающую силу (устройство в конце концов сломается).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2007, 05:18 
Аватара пользователя


02/09/07
19
Someone писал(а):
(хорошо видно, что $F_{\text{ц}}\to\infty$ при $r\to 0$).


Во-первых, не к бесконечности, а к С. К скорости света, как говорилось ранее.

Во-вторых, возьмём другой пример. Два тела равной массы летят на встречу друг к другу с равными скоростями и сталкиваются. Что происходит в момент столкновения? У них изменяется скорость за время равное нулю. То есть ускорение стремится к бесконечности, также как и сила действующая на тела.

Однако, если углубиться на уровень атомов, обнаружится, что всё выглядит несколько иначе. Также как и при вращении объекта по нанометровому радиусу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.10.2007, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Друг Ч писал(а):
Someone писал(а):
(хорошо видно, что $F_{\text{ц}}\to\infty$ при $r\to 0$).


Во-первых, не к бесконечности, а к С. К скорости света, как говорилось ранее.


Сила стремится к скорости света???

Друг Ч писал(а):
Во-вторых, возьмём другой пример. Два тела равной массы летят на встречу друг к другу с равными скоростями и сталкиваются. Что происходит в момент столкновения? У них изменяется скорость за время равное нулю. То есть ускорение стремится к бесконечности, также как и сила действующая на тела.


Извините, это опять физически нереальный пример. Тела предполагаются абсолютно твёрдыми, а таких в реальном мире не бывает.
Ладно, в классической механике можно рассматривать абсолютно твёрдые тела, как некоторую идеализацию. При этом сила в момент удара будет "бесконечно большой". Но она совершает конечную работу. А для того, чтобы дотащить Ваши вращающиеся грузы до центра, требуется выполнить бесконечно большую работу. Если Вы соорудите такую установку для экспериментальной проверки, и человечество решит пожертвовать Вам всю энергию, которую оно использует за год, всё равно до центра грузы дотащить не удастся (предполагается идеализированная и физически нереализуемая ситуация, когда отсутствует трение, все детали, кроме грузов, имеют нулевую массу, грузы точечные, остальные детали - абсолютно твёрдые; в реальной ситуации произойдёт диссипация энергии и перераспределение момента импульса к другим деталям, а также что-нибудь может сломаться).
Но Вы же, по моим наблюдениям, очень любите "для точности" учитывать СТО. А в СТО абсолютно твёрдых тел не бывает вообще, даже как идеализации.

Друг Ч писал(а):
Однако, если углубиться на уровень атомов, обнаружится, что всё выглядит несколько иначе. Также как и при вращении объекта по нанометровому радиусу.


Не надо углубляться до уровня атомов. Достаточно рассматривать тело как упругую непрерывную среду.

Что касается вращения по "нанометровому" радиусу, можно рассмотреть пример. Пусть у нас имеется груз массой $m=1\text{ \textit{кг}}$, вращающийся по окружности радиуса $r_0=1\text{ \textit{м}}$ с угловой скоростью $\omega_0=1\text{ \textit{рад/с}}$. Центростремительная сила при этом равна $F_0=m\omega_0^2r_0=1\text{ \textit{Н}}$. Предположим, мы подтащили наш груз к центру на расстояние $r>0$. Из выражения $F_{\text{ц}}=\frac{M^2}{mr^3}$ следует, что $F_{\text{ц}}=\frac{r_0^3}{r^3}F_0$. Например, для $r=1\text{ \textit{см}}=0.01\text{ \textit{м}}$ получаем $F_{\text{ц}}=10^6\text{ \textit{Н}}$, а для $r=1\text{ \textit{мм}}=0.001\text{ \textit{м}}$ - $F_{\text{ц}}=10^9\text{ \textit{Н}}$. Чем тащить будете?
Заметим, что при начальном расстоянии скорость вращения груза равна $v_0=\omega_0 r_0=1\text{ \textit{м/с}}$, а на расстоянии $r>0$ - $v=\frac{r_0}rv_0$. Например, для расстояния $r=1\text{ \textit{мм}}$ получим $v=1000\text{ \textit{м/с}}=1\text{ \textit{км/с}}$. Но релятивистские поправки ещё совершенно несущественны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2007, 06:26 
Аватара пользователя


02/09/07
19
Someone писал(а):
Друг Ч писал(а):
Someone писал(а):
(хорошо видно, что $F_{\text{ц}}\to\infty$ при $r\to 0$).


Во-первых, не к бесконечности, а к С. К скорости света, как говорилось ранее.


Сила стремится к скорости света???


Хорошо. Что есть центробежная сила? Это сила инерции. То есть.
F = m * delta V / t
При уменьшении радиуса у нас стремится к бесконечности delta V. Но delta V не может быть больше 2с. Ну и сила соответственно ограничена.


Someone писал(а):
Друг Ч писал(а):
Однако, если углубиться на уровень атомов, обнаружится, что всё выглядит несколько иначе. Также как и при вращении объекта по нанометровому радиусу.


Не надо углубляться до уровня атомов. Достаточно рассматривать тело как упругую непрерывную среду.

Я привёл пример с соударением тел и получением бесконечной силы, чтобы показать, что в определённый момент, всё таки приходится углубляться на уровень атомов.

А на уровне атомов, при вращении по нанометровому радиусу, думаете край вашего маховика размером 1 метр тоже будет вращаться по нанометровому радиусу, также как и его центр? Я думаю, что до краёв это нанометровое микроколебание вообще не будет доходить. Разве нет?

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Someone писал(а):


Кстати, может быть вы знаете ответ на этот вопрос из другой темы?
Просто интересно.

Цитата:
Допустим у нас есть две шестерёнки в космосе. Находятся в одной плоскости и сцеплены зубцами. Мы можем их раскрутить опираясь друг об друга, и таким образом получим два гироскопа, которые ещё и находятся в зацеплении друг с другом.

А что будет если эти две шестерёнки повернуть так, чтобы угол между ними стал 90 градусов? Они ведь будут и вращаться и процессировать, и цепляться друг за друга, так, что возможности процессирования будут несколько ограничены. А в общем и целом, каково будет вращение такой конструкции?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2007, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Друг Ч писал(а):
Someone писал(а):
Друг Ч писал(а):
Someone писал(а):
(хорошо видно, что $F_{\text{ц}}\to\infty$ при $r\to 0$).


Во-первых, не к бесконечности, а к С. К скорости света, как говорилось ранее.


Сила стремится к скорости света???


Хорошо. Что есть центробежная сила? Это сила инерции.


Я ни одного раза не употреблял слова "центробежная сила". На груз действует центростремительная сила, её создаёт механизм, подтягивающий груз к центру. Так что никакая это не "сила инерции".

Друг Ч писал(а):
То есть.
F = m * delta V / t
При уменьшении радиуса у нас стремится к бесконечности delta V. Но delta V не может быть больше 2с. Ну и сила соответственно ограничена.


Это чушь. Изучайте для начала классическую механику, не лезьте в СТО.

Друг Ч писал(а):
А на уровне атомов, при вращении по нанометровому радиусу, думаете край вашего маховика размером 1 метр тоже будет вращаться по нанометровому радиусу, также как и его центр? Я думаю, что до краёв это нанометровое микроколебание вообще не будет доходить. Разве нет?


То есть, Вы дезавуируете собственную абстрактную идеализированную задачу, и желаете рассматривать более или менее реальную ситуацию? Тогда не будет никакого вращения по нанометровому радиусу. Пока грузы находятся достаточно далеко от оси вращения и потери энергии на трение достаточно малы, они будут вращаться, постепенно ускоряясь. По мере увеличения сил, действующих в системе (а они растут очень быстро, обратно пропорционально кубу расстояния до оси), силы трения также станут очень существенными, и момент импульса будет интенсивно передаваться от грузов к связанным с ними деталям механизма, затем далее, пока не распределится по всей системе. Например, если эта штука связана с корпусом космического корабля, свободно летящего в пространстве, то весь корабль начнёт немного вращаться.

Да, и не пытайтесь сказать, что трения не будет. Трение - это неизбежный результат атомарной структуры материала. Если мы начинаем рассматривать атомы, то трение возникает просто от взаимодействия атомов на соприкасающихся поверхностях тел, и исключить его принципиально невозможно. Если же атомы тел взаимодействовать не будут, то тела будут свободно проходить сквозь друг друга, и Вашу конструкцию изготовить будет невозможно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group