2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простенький числовой конечный ряд.
Сообщение23.10.2014, 14:38 


02/04/13
289
Найти сумму
$S=2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+...+100\cdot2^{99}$.
Рассмотрим функциональный ряд
$S(x)=2x+3x^2+4x^3+...+100x^{99}=\sum\limits_{n=2}^{100}nx^{n-1}$.
$F(x)=\int S(x)dx = \int\left(\sum\limits_{n=2}^{100}nx^{n-1}\right)dx=\sum\limits_{n=2}^{100}\int nx^{n-1}dx=\\
=\sum\limits_{n=2}^{100}x^n + C = \frac{x^2(1-x^{99})}{1-x}+C.$
$S(x)=\frac{F(x)}{dx}=\frac{97x^{100}+2x}{(1-x)^2}.$
И окончательно
$S=S(2)=\frac{97\cdot 2^{100}+2\cdot 2}{(1-2)^2}=97\cdot 2^{100}+4.$
Правильно?

Дальше я решил запрограммировать ряд, считая сумму в лоб, и сравнить с ответом.
Цитата:
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(){
double S=0;
for(int i=100; i>1; i-- ){
S = S + i*pow(2, i-1);
}
cout << S << endl;
cout << 4 + 97*pow(2,100) << endl;
return 0;}

Результат работы программы:
Цитата:
1.25497e+32
1.22962e+32

Почему есть небольшое различие в числовых ответах? Кстати, при суммировании ряда слева на право сумма получается такой же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький числовой конечный ряд.
Сообщение23.10.2014, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Правильный ответ - первый (точнее, 125497409422594710748173617332224). Это значит, что Ваш ответ в замкнутой форме - неправильный (не вникал, где именно), а вот суммирование правильное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький числовой конечный ряд.
Сообщение23.10.2014, 14:47 


02/04/13
289
ИСН в сообщении #922312 писал(а):
в замкнутой форме

Что такое замкнутая форма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький числовой конечный ряд.
Сообщение23.10.2014, 14:59 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Перепроверьте взятие производной.
Порядок до взятия - 100, после - 98

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький числовой конечный ряд.
Сообщение23.10.2014, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
У Вас выражение равно другому выражению. В одном выражении есть многоточие, в другом нет. Вот где нет, это и есть замкнутая форма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький числовой конечный ряд.
Сообщение23.10.2014, 15:13 


02/04/13
289
Cash, точно!
$S(x)=\frac{F(x)}{dx}=\frac{100x^{101}-101x^{100}-x^2+2x}{(1-x)^2}.$
$S(2) = 99\cdot 2^{100}.$
Теперь ответы сходятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький числовой конечный ряд.
Сообщение23.10.2014, 15:26 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Ок.
Только правильно
$S(x) = \frac{d}{dx}F(x)$
или
$S(x) =F'(x)$
но не как у Вас записано

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group