2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Элементарная геометрия 4
Сообщение22.10.2014, 18:57 


24/03/14

113
В продолжение предыдущих тем, хотелось бы продолжить решать элементарные геометрические задачи самым рациональным методом.
Итак, в пря­мо­уголь­ни­ке $ABCD$ со сто­ро­на­ми $AB=4$ и $BC=10$ на сто­ро­не $AD$ рас­по­ло­же­ны точки $M$ и $N$ таким об­ра­зом, что $DM=4$ при этом $P$ — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых $BN$ и $CM$. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка $MNP$ равна $1$. Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки $M$ и $N$.

Рисунок:
Изображение

Сразу можно обратить внимание на равнобедренный треугольник $MDC$, в котором, следовательно, $MC = 4\sqrt{2}$ ,  \angle DMC =  \angle MCD = 45^{\circ}$. Дальше начинается самый треш, который по логике должен меня привести либо непосредственно к отрезку $MN$, либо к координатам точки $N(x_{0};0) , x_{0} - ?$ Вроде бы кажется, что этот $x$ найти легче простого, достаточно узнать длину $BN$ или координаты точки $P$. Разочарую вас. В общем, я пока красивого и изящного, хотя бы геометрического, решения не вижу, поэтому думаю надо все сводить к системе уравнений по поиску стороны $BN$. Хотелось бы услышать ваши мнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение22.10.2014, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Я бы воспользовался подобием треугольников и формулой площади через две стороны и угол между ними. Всё, что Вы нашли — пригодится. А какое тут может быть решение не через уравнение? Может быть и есть, впрочем. Можно и просто площадями поиграть, учитывая их пропорциональность квадратам соответственных сторон. В общем, эта задача тово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение22.10.2014, 21:03 


24/03/14

113
gris в сообщении #921996 писал(а):
А какое тут может быть решение не через уравнение?

Не знаю, но если всерьез принять мой домысел относительно нахождения стороны $BN$ через, exempli gratia, треугольники $ABN$ и $BPC$, то получится нехилая такая система из 2-ух уравнений с четырьмя неизвестными.
Боюсь, тоже самое касается подобия треугольников (очевидно Вы имели в виду $MPN$ и $PBC$). Хотя.
Допустим $MP = a , MN = b$. Составим систему исходя из площадей соответствующих треугольников:

$$\left\{\!\begin{aligned}
&  \frac{ ab }{ 2\sqrt{2}  }  = 1  \\
&  \frac{ 5(4\sqrt{2} - a) }{ \sqrt{2}  } = S
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow  \left\{\!\begin{aligned}
&  a = \frac{ 2\sqrt{2}  }{ b }   \\
&  S = \frac{ 5(4\sqrt{2} - \frac{ 2\sqrt{2} }{ b } ) }{ \sqrt{2} } 
\end{aligned}\right.$$

Откуда $$S = \frac{ 10(2b-1) }{ b }$$

Тупик, я полагаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 07:02 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Э-э-э. У маленького треугольника неизвестно основание $a$, его надо найти, и высота $h$.
$ah=2$,
$10(4-h)/2=(10/a)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 07:14 


23/01/07
3415
Новосибирск
Phaenomenon в сообщении #921989 писал(а):

$DM=4$

На мой взгляд, это условие излишнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 11:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Phaenomenon в сообщении #922068 писал(а):
Допустим $MP = a , MN = b$.
Параметры $a$ и $b$ не являются независимыми, так как выбор точки $N$ однозначно определяет положение точки $P$. Поэтому имеется ещё одно соотношение между $a$ и $b$. Если уж Вы ввели систему координат, так напишите уравнения прямых $BN$ и $CM$ и найдите точку $P$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 12:29 


23/01/07
3415
Новосибирск
Батороев в сообщении #922218 писал(а):
Phaenomenon в сообщении #921989 писал(а):

$DM=4$

На мой взгляд, это условие излишнее.

Т.е. величина основания не зависит от положения т. $P$ (доказывается через подобие треугольников, образованных наклонными прямыми). Поэтому т. $P$ можно перенести на одну из сторон прямоугольника и рассмотреть треугольник, образованный с внешней стороны прямоугольника указанной стороной, продолжением основания и наклонной прямой, проходящей через т. $P$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Батороев, не мог удержаться, чтобы не исполнить иллюстрацию к Вашеё замечательной теореме!

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 17:30 


01/12/11

1047
Треугольники $BPC$ и $MPN$ подобные. Из вершины $P$ проведём высоты этих треугольников. Учитывая подобие треугольников и зная площадь треугольника $MPN$, получим квадратное уравнение для высоты, а затем и выражение для длины основания $MN$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 20:26 


24/03/14

113
Nemiroff в сообщении #922216 писал(а):
Э-э-э. У маленького треугольника неизвестно основание $a$, его надо найти, и высота $h$.
$ah=2$,
$10(4-h)/2=(10/a)^2$.


Спасибо за ответ! Но я не понимаю, откуда Вы получили $(10/a^2)$? Такое выражение получается путем подстановки $a/2$? Уж простите за глупый вопрос :?

Someone в сообщении #922279 писал(а):
Параметры $a$ и $b$ не являются независимыми, так как выбор точки $N$ однозначно определяет положение точки $P$. Поэтому имеется ещё одно соотношение между $a$ и $b$. Если уж Вы ввели систему координат, так напишите уравнения прямых $BN$ и $CM$ и найдите точку $P$.


Спасибо за ответ! Я так понимаю, координаты точки $P$ нам как раз таки необходимы для нахождения $h$, в треугольнике $PMN$. То есть без рассмотрения подобия треугольников. Очень оригинально! Но и затруднительно одновременно.
Итак, получил уравнения прямых для $MC:  y = x-6$, для $BN: y = - \frac{ 4(x-x_{0}) }{ x_{0} }$. После решения равенства получил координаты: $$P\left( \frac{ 10x_{0} }{ x_{0} + 4 } ; \frac{ 4(x_{0} - 6)}{ x_{0} - 4 } \right)  $$
Откуда мы узнаем $h_{MN} = \frac{ 4(x_{0} - 6)}{ x_{0} - 4 }$. Думаю дальше не имеет смысла продолжать. В принципе с самого начала это не имела смысла без координаты x_{0}; а зная ее нам бы не пришлось идти столь нерациональным путем. Поэтому, к сожалению, Ваш способ не подойдет.

Батороев в сообщении #922291 писал(а):
Т.е. величина основания не зависит от положения т. $P$ (доказывается через подобие треугольников, образованных наклонными прямыми). Поэтому т. $P$ можно перенести на одну из сторон прямоугольника и рассмотреть треугольник, образованный с внешней стороны прямоугольника указанной стороной, продолжением основания и наклонной прямой, проходящей через т. $P$.


Вас понял. Иллюстрация gris'а правильно трактует Ваши мысли? Если так, то это как минимум еще одна тропинка к ответу.

Кстати, ответ должен получится $2.5$. Тут есть еще один вариант построения, но мне бы хотя бы на этот найти...

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 20:31 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Phaenomenon в сообщении #922379 писал(а):
Но я не понимаю, откуда Вы получили $(10/a^2)$

$(10/a)^2$.
Это коэффициент подобия $(10/a)$ в квадрате. Потому что отношение площадей. В развёрнутом виде это вот так выглядит: $$\dfrac{\frac{1}{2}10(4-h)}{\frac{1}{2}ah}=\left(\dfrac{10}{a}\right)^2$$
С учётом $\frac{1}{2}ah=1$ получаем квадратное уравнение на $a$.

-- Чт окт 23, 2014 21:32:41 --

Phaenomenon в сообщении #922379 писал(а):
Кстати, ответ должен получится $2$.
С половиной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 4
Сообщение23.10.2014, 20:36 


24/03/14

113
Nemiroff, да, Вы абсолютно правы. Это я уже совсем заработался походу: готовые ответы друг с другом путаю...

ps. понял откуда взялся квадрат. забыл, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group