2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 16:30 


24/03/14

113
Все, что я писал ранее неверно. Начинаю заново.
Итак, первым делом, имея все данные координаты, нахожу $\left| \overrightarrow{AD} \right| = \sqrt{97} $. Известно, что $CD$ делится точкой $O$ в отношении $1:3$ , следовательно $\left| \overrightarrow{OA} \right| = \frac{ 3\sqrt{97} }{ 4 } $, а \left| \overrightarrow{OD}  \right| = \frac{ \sqrt{97} }{ 4 }. Дальше была идея, зная сторону $AC$ и $AD$ , найти преспокойно $\cos{ \gamma }$ из скалярного произведения, чтобы далее найти $OC$ по теореме косинусов, которая, уже к этому времени, доказана нами как половина медианы, каковая есть еще и диаметр(то есть просто на $2$ умножить и жить спокойно). Но. Ни доказанной медианы, ни нормального косинуса не получается. Поэтому эту часть я бы хотел чтобы Вы посмотрели.

С высотой все гораздо легче. Во-первых, конечно же, доказать, что $CN$ высота, а далее найти уравнение прямой $AB$ ( $y = 3x +4y -36$) и найти расстояние от $C$ к этой прямой. Выходит, действительно $36/5$ , то есть $7,2$. Это правильный ответ.

Выходит не такой уж и простой этот ваш векторный метод, но мне он уже начинает бесконечно нравится :-)

Хотелось бы добавить про необходимость и возможность нахождения координат точки $O$. Насколько я знаю, чтобы задать координаты точки окружности, необходимо составить уравнение окружности. Соответственно здесь оно нормальное, то есть $x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Как исходя из этого найти координаты ее центра?

-- 21.10.2014, 16:34 --

gris в сообщении #921571 писал(а):
Можно определить точку $M$ как продолжение отрезка $CO$ на такое же расстояние за точку $O$.


Но нам же неизвестно $CO$ , как мы, следовательно, будем что-то откладывать на соответствующую длину, не имея таковой? По линейке, если только :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Опять отсылаю Вас к Погорелову. У него есть пункт про уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$. И не забывайте, что у нас начало координат в точке $C$, а оси направлены по катетам. Центр окружности — точка $O$, а её радиус — длина отрезка $CO$.

Чтобы удвоить вектор, достаточно удвоить его проекции(ю). Откладывать ничего не надо. Мы не насекомые и не ленивцы в смысле ленивые люди.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 16:47 


24/03/14

113
gris в сообщении #921575 писал(а):
Опять отсылаю Вас к Погорелову. У него есть пункт про уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$. И не забывайте, что у нас начало координат в точке $C$, а оси направлены по катетам. Центр окружности — точка $O$, а её радиус — длина отрезка $CO$.


Ох, точно, перепутал :facepalm:
Хорошо, тогда, имея $C (0;0)$ и то, что $CO = R$ , нам все равно не хватает данных для построения уравнения окружности. Или, из уравнения $\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = R^2$ выходит $x^{2} + y^{2} = r^{2} $ , что неверно. Сейчас Погорелов перед глазами, и такого случая он не объясняет.

-- 21.10.2014, 16:58 --

Если честно, Ваш метод доказательства я понять не могу. Но у меня тут идея проскочила: доказывать от обратного. То есть сначала сделать предположение, что $CM$ медиана, тогда и только тогда, когда $S_{CMB} = S_{CMA}$. Тем более они получаются равнобедренными. То есть можно было даже рассматривать их подобие, только к сожалению, не очевидное (то есть нет признака, по которому их определять как подобные).

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А что если нам провести через точку $O$ прямую, параллельную $AB$? Отсечётся треугольничек, подобный исходному. И тут вспомним мудрый совет Батороева, замечательно работающий тут. Наша окружность окажется описанной около маленького треугольника! Ну а потом — подобие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 17:15 


24/03/14

113
gris в сообщении #921586 писал(а):
А что если нам провести через точку $O$ прямую, параллельную $AB$? Отсечётся треугольничек, подобный исходному. И тут вспомним мудрый совет Батороева, замечательно работающий тут. Наша окружность окажется описанной около маленького треугольника! Ну а потом — подобие.


Великолепная идея! Но одновременно доказывающая нам, что аналитически доказать мы медиану не способны.
Как будем поступать с высотой? Просто перпендикуляр из $C$ к $BC$ не пойдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Если докажем медиану, то высота докажется сама собой. Ведь она — сторона вписанного в окружность треугольника $CMN$, одна из сторон которого является диаметром окружности. Отсюда сразу следует, что угол $\angle MNC$ — прямой!

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 17:31 


24/03/14

113
gris, можете объяснить, как Вы получили это уравнение: $x^2+y^2-4.5x-6y=0$ ? Я так понимаю,это уравнение заданной окружности :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Как я его получил? Скобки раскрыл. Подобные привёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 17:38 


24/03/14

113
gris в сообщении #921595 писал(а):
Как я его получил? Скобки раскрыл. Подобные привёл.


А исходя из чего Вы его раскрыли? У нас же даны только координата $C(0;0)$. Если подставить в формулу, то получится нормальное уравнение окружности.
Да и вообще, зачем оно надо было?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Ценр окружности не в точке $C$, а в точке $O$. В $C$ у нас начало координат. Надо найти координаты точки $O$. На словах это получается совсем просто, а в записи, пожалуй, хлопотно будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 18:05 


24/03/14

113
Что же, теперь наконец, можно подвести итог, что координатный метод в несколько раз сложнее обычного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Вот именно этого я и добивался! Вы это признали на своём опыте. А ведь я всегда говорил, что школьные задачи надо решать геометрическими методами, а линейная алгебра она для другого. И вот теперь никто не упрекнёт меня в одиночестве. Нас — двое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Phaenomenon в сообщении #921602 писал(а):
Что же, теперь наконец, можно подвести итог, что координатный метод в несколько раз сложнее обычного.

Автомобиль в несколько раз сложнее самоката. Однако в то же время и мощнее.

gris в сообщении #921603 писал(а):
А ведь я всегда говорил, что школьные задачи надо решать геометрическими методами, а линейная алгебра она для другого.

Некоторые школьные задачи мне удавалось успешней решать координатами и векторами, чем элементарно-геометрическими методами, которые нам навязывали. И учитель, читая моё решение, соглашался со мной, что так проще. Так что, многое от конкретной задачи зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Мне в начале показалось, что это именно для координатного метода задача и решается чуть ли не устно. Но потом ТС меня убедил, что геометрическое решение изящнее и красивее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение21.10.2014, 19:12 


24/03/14

113
gris в сообщении #921603 писал(а):
Вот именно этого я и добивался! Вы это признали на своём опыте. А ведь я всегда говорил, что школьные задачи надо решать геометрическими методами, а линейная алгебра она для другого. И вот теперь никто не упрекнёт меня в одиночестве. Нас — двое!


gris, это совершенно не исключает того, что данный метод мне не понравился :-)
Разница во времени: если я все 6 лет решал задачи чисто геометрическим способом, то векторный способ я использую ровно 2 дня. Представьте, какого было бы мое изумление геометрическому способу, если бы все 6 лет я решал все аналитически.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group