Линейное ДУ с переменными коэффициентами

[SSunny]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, в каком направлении думать.
Дано уравнение $\frac{1}{x-1}y''+xy'+2y=1$. Необходимо найти его общее решение.

Домножив обе части уравнения на $x-1$, получаем уравнение:
$y''+x(x-1)y'+2(x-1)y=x-1$.
$y''+x(x-1)y'+2(x-1)y=0$ - соответствующее однородное уравнение.
Чтобы найти общее решение полученного однородного уравнения, нужно найти частное решение. Пробовал искать частное решение в виде экспоненты $y=e^{\alpha x}$ и в виде многочлена, не подошло. В каком еще виде можно попробовать подобрать это решение?

[ИСН]

У меня такое смутное подозрение, что подобрать не получится.
Пахнет функцией типа $e^{-x^3}$, а потом интегралом от неё.

[Утундрий]

Поищите в виде ряда. Лучше в окрестности $x=1$.

[Limit79]

$y=0$

[Ms-dos4]

Limit79
Это такой чёрный юмор?
SSunny
Вообще сомнительно, что решение этого ДУ можно найти в виде известных спецфункций.

[Утундрий]

Да нормально в виде ряда получается.

[Ms-dos4]

Утундрий
Да, но я не мог понять что это. А теперь понял - решения выражаются через многочлены Гойна специального вида (см. Triconfluent Heun Equation здесь)

[Утундрий]

(Оффтоп)

Ах, функции Гартвига! Ну, тогда понятно...