2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 n векторов
Сообщение17.10.2014, 08:17 


11/10/14
20
Сложить графически $n$ векторов $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, ..., $\vec{a_n}$, если известно, что все векторы лежат в одной плоскости, имеют одинаковые модули, причем вектор $\vec{a_1}$ направлен по горизонтали, а каждый последующий вектор повернут относительно предыдущего на угол $\alpha=\flac{2\pi/n}$.

Из построения суммы векторов для небольших $n$ мы можем сделать предположение, что любая сумма $n$ векторов равна нулю. Т. к. если $n=2$, то угол $\alpha=\flac{2\pi/2}=\pi$, вектора $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$ противоположно направленные и их сумма равна нулю. Если $n=3$, то угол $\alpha=\flac{2\pi/3}$ и вектора $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{a_3}$ образуют равнобедренный треугольник (вектора $\vec{a_2}$ и $\vec{a_3}$ мы параллельно переносим так, чтобы начало вектора $\vec{a_2}$ совпадало с концом вектора $\vec{a_1}$, а начало $\vec{a_3}$ совпадало с концом $\vec{a_2}$) и их сумма также равна нулю. И т.д.

Что означает сложить графически $n$ векторов, и можно ли доказать методом мат. индукции, что сумма $n$ векторов равна нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение17.10.2014, 08:25 
Заслуженный участник


28/12/12
4089
DaniilK в сообщении #919806 писал(а):
Что означает сложить графически $n$ векторов

Нарисовать соответствующее число стрелочек.

DaniilK в сообщении #919806 писал(а):
можно ли доказать методом мат. индукции, что сумма $n$ векторов равна нулю?

Наверняка можно. Только зачем это в физике?

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение17.10.2014, 08:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12595
Может быть действительно надо нарисовать правильный $n$-угольник и посчитать угол между соседними сторонами?

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение17.10.2014, 08:46 
Заморожен


20/12/10
5623
DaniilK в сообщении #919806 писал(а):
можно ли доказать методом мат. индукции, что сумма $n$ векторов равна нулю?
Даже и не пытайтесь, ни к чему хорошему это не приведёт. Лучше придумайте какой-нибудь другой метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение17.10.2014, 09:07 


11/10/14
20
DimaM в сообщении #919808 писал(а):
Нарисовать соответствующее число стрелочек.

Я не понимаю, как нарисовать сумму $n$ векторов для общего случая?

-- 17.10.2014, 13:56 --
nnosipov в сообщении #919816 писал(а):
DaniilK в сообщении #919806 писал(а):
можно ли доказать методом мат. индукции, что сумма $n$ векторов равна нулю?
Даже и не пытайтесь, ни к чему хорошему это не приведёт. Лучше придумайте какой-нибудь другой метод.



Другой способ. Если мы докажем, что вектора $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, ..., $\vec{a_n}$, при заданных условиях, образуют правильный $n$-угольник т.е. конец вектора $\vec{a_n}$ совпадёт с началом вектора $\vec{a_1}$, то докажем, что сумма $n$ векторов равна нулю.
У нас $n$-векторов, углы между ними $\alpha=\flac{2\pi/n}$ или $\alpha=\flac{\pi(n-2)/n}$, следовательно, вектора $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, ..., $\vec{a_n}$ образуют правильный $n$-угольник и их сумма равна нулю. Мои рассуждения верны?

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение17.10.2014, 17:17 
Заслуженный участник


11/05/08
30751
Лучше выведите все вектора из одной точки и подумайте, что будет с их суммой, если повернуть всю картинку на угол $\frac{2\pi}{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение17.10.2014, 17:31 
Заморожен


20/12/10
5623
DaniilK в сообщении #919818 писал(а):
Мои рассуждения верны?
Да. Действительно, если начало очередного вектора прикладывать к концу предыдущего, то получится правильный $n$-угольник.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.10.2014, 21:15 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8655
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение12.11.2016, 17:12 
Аватара пользователя


26/01/09
48
Меня больше интересует как из условия задачи понять что все вектора повернуты на один и тот же угол равный $2\pi$ деленный на общее число векторов n.
А не так, что каждый последующий вектор с порядковым номером n повернут относительно предыдущего на угол $\frac{2\pi}{n}$
То есть $\vec{a_2}$ повернут относительно $\vec{a_1}$ на $\frac{2\pi}{2}=\pi$ , $\vec{a_3}$ повернут относительно $\vec{a_2}$ на $\frac{2\pi}{3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение12.11.2016, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19116
Уфа
dp в сообщении #1168369 писал(а):
Меня больше интересует как из условия задачи понять что все вектора повернуты на один и тот же угол равный $2\pi$ деленный на общее число векторов n.
В таком описании лично мне додумывается общая для всех ось, относительно которой отсчитывается угол, и выходит что-то не то.

dp в сообщении #1168369 писал(а):
А не так, что каждый последующий вектор с порядковым номером n повернут относительно предыдущего на угол $\frac{2\pi}{n}$
То есть $\vec{a_2}$ повернут относительно $\vec{a_1}$ на $\frac{2\pi}{2}=\pi$ , $\vec{a_3}$ повернут относительно $\vec{a_2}$ на $\frac{2\pi}{3}$
Этого тоже там нет.

Там написано яснее.

-- Сб ноя 12, 2016 22:46:40 --

И потом, поезд-то ушёл уже, всё решено.

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение21.02.2017, 22:57 
Аватара пользователя


15/11/15
536
Утверждение действительно верно. Здесь http://dxdy.ru/topic110309.html?hilit=тождество&start=15 оно уже обсуждалось . Недавно я нашел другое доказательство. Для этого надо заметить, что концы векторов образуют правильный многоугольник, а их общее начало находится в центре масс этого многоугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение21.02.2017, 23:14 
Модератор


20/03/14
7113
Rusit8800
Тут уже встречались, кажется, все мыслимые доказательства этого утверждения. Если хорошо поискать: слишком много раз оно обсуждалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: n векторов
Сообщение04.03.2017, 18:26 
Аватара пользователя


15/11/15
536
Lia в сообщении #1194467 писал(а):
Тут уже встречались, кажется, все мыслимые доказательства этого утверждения. Если хорошо поискать: слишком много раз оно обсуждалось.

Ну, для меня оно было новое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group