2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение16.10.2014, 23:01 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
Здравствуйте.

Мне нужно сгенерировать импульс во временной области, с заданным амплитудным спектром.

Сейчас я выполняю преобразование фурье от спектра, и получаю импульс.
Но, так как фазу я задаю нулевую, то импульс получается симметричный во времени, наподобие функции синк, с "хвостами" перед и после "основного тела импульса".

Изображение
А хотелось бы иметь импульс у которого было бы минимум хвостов перед телом.

Вроде как для этого у него должна быть ФЧХ особым образом зависящая от АЧХ. но как именно я так и не смог найти. Может кто в курсе, как сгенерировать импульс заданного спектра без "предзвона"?

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 13:22 
Заслуженный участник


22/11/10
1124
Математически этот вопрос можно переформулировать так.
Пусть задана "хорошая" функция $f(x)$, с носителем в луче $(0,\infty)$. Обозначим ее преобразование Фурье
$\varphi (\xi) = \int \limits_0^{\infty} f(x) e^{i\xi x} dx$
Предположим, что нам известна $\psi (\xi) = |\varphi(\xi)|$. Надо восстановить $\varphi (\xi)$, а затем и $f(x)$.
Возможный путь решения таков. Коль скоро при $x< 0$ функция обращается в 0, то ее преобразование Фурье $\varphi (\xi)$ должна быть аналитична в полуплоскости $\operatorname{Im} \xi > 0$. Следовательно, надо найти вещественную функцию $\lambda(\xi)$ такую, что $\psi (\xi)e^{i\lambda(\xi) }$ - имеет аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость. Далее рассуждаем не строго.
Логарифмируя, получаем, что в верхнюю полуплоскость должна продолжаться функция $\ln (\psi (\xi)) + i\lambda(\xi) $. Мы видим здесь вещественную и мнимую часть аналитической функции (не забудем, что $\psi(\xi)$ - неотрицательна). Вещественную часть знаем. Значит мнимая часть определяется. Таким образом, надо в верхней полуплоскости решить задачу Неймана
$\Delta u(\xi,\eta) = 0$
$\frac{\partial}{\partial \eta}u(\xi,0) = \ln (\psi (\xi))$
После этого просто полагаем $\lambda (\xi) = \frac{\partial}{\partial \xi}u(\xi,0)$.
С точки зрения вычислений, вместо полуплоскости, разумеется, лучше перейти к кругу (сделав конформное отображение полуплоскости на круг).

(Оффтоп)

Я так полагаю, что $\psi(\xi) \to 1$ при $\xi \to \pm \infty$. Поэтому "на бесконечности" логарифм зануляется и "все склеится".

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 14:28 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
как это запрограммировать

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 14:59 
Заслуженный участник


22/11/10
1124
Хм, надо решать задачу Неймана в круге. Пакеты какие-то ...
Но сначала вопрос. Как насчет той самой $\psi (\xi)$? Какой-нибудь примерный ее вид можете указать?
Дело в том, что логарифмирование вещь хорошая, но "не любит" нулей.
Предположим, что $\psi (\xi)$ - что-то ненулевое, быстро выходящее на константу (ненулевую !) вне интервала $\xi \in (a,b)$. Тогда быстренько отображаем полуплоскость на круг (дробно-линейным отображением). На границе круга задаем нормальную производную (вычисленную через $\ln (\psi (\xi))$), численно решаем задачу Неймана, "сбрасываем" решение обратно на полуплоскость (только границу), численно дифференцируем и получаем "фазу" $\lambda (\xi)$.
А вот если там будут нули, то все сложнее. В частности, если $\psi (\xi)$ выходит на 0 то решения задачи может и не быть или оно будет "плохое". Короче проблемы. От дискретных нулей можно избавиться, поделив на полином вида $\prod (\xi - a_i)$, где $a_i$ - нули функции $\psi (\xi)$.
Так что сначала надо бы взглянуть на $\psi (\xi)$. А потом уже разбираться с задачей Неймана.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 15:17 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
Изображение

-- 17.10.2014, 16:20 --

у меня есть одна идейка, можно подать дельта функцию на ряд гармонических осциляторов.
каждый осцилятор даст затухающую синусоиду.
из интуиции кажется, что взвесив реакцию осцилляторов согласно требуемому спектру получим импульс с заданным спектром, нужно только подобрать параметры осцилляторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 15:21 


07/08/14
1666
а спектр бесконечный?

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 15:24 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
upgrade в сообщении #919871 писал(а):
а спектр бесконечный?

нет, от от 20 герц до 24000 герц.
процесс идет в дискретном времени и частотой выборки 48000.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 15:47 


07/08/14
1666
и считаете, видимо, БПФ-ом, отсюда и хвосты. как исправить не в курсе.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 16:25 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
upgrade в сообщении #919878 писал(а):
и считаете, видимо, БПФ-ом, отсюда и хвосты. как исправить не в курсе.

не хвосты потому что фаза нулевая у всех гармоник, как у синка.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 17:01 
Заслуженный участник


22/11/10
1124
Есть еще один вариант. Можно без задачи Неймана. Но тогда надо сосчитать сингулярный интеграл :-)
$\lambda (\xi) = -\frac {1}{\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac {\ln (\psi(z))dz}{z - \xi}$
От особенности (если хочется) можно избавиться
$\lambda (\xi) = -\frac {1}{\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac {\ln (\psi(z)) - \ln (\psi(\xi))}{z - \xi}dz$

Такое вычисление приемлемо?

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 17:46 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
sup в сообщении #919894 писал(а):
Есть еще один вариант. Можно без задачи Неймана. Но тогда надо сосчитать сингулярный интеграл :-)
$\lambda (\xi) = -\frac {1}{\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac {\ln (\psi(z))dz}{z - \xi}$
От особенности (если хочется) можно избавиться
$\lambda (\xi) = -\frac {1}{\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac {\ln (\psi(z)) - \ln (\psi(\xi))}{z - \xi}dz$

Такое вычисление приемлемо?

а что здесь есть что?

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 18:21 
Заслуженный участник


22/11/10
1124
Хм, я вроде уже писал.
Итак, пусть сигнал $f(t)$, его преобразование Фурье
$\hat f (\xi)= \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\xi t} dt$
Тогда $\psi(\xi) = |\hat f (\xi)|$ - та самая АЧХ.
Далее, пусть наоборот $\psi(\xi)$ задана. Нам хочется найти такую функцию $f(x)$, что $\psi(\xi) = |\hat f (\xi)|$. Причем мы хотим, чтобы $f(x) = 0$ при $x<0$. Поскольку модуль функции $\hat f  (\xi)$ уже задан, то речь может идти только лишь о комплексной экспоненте (которая не меняет модуль) $e^{i\lambda (\xi)}$. Т.е.
$\hat f (\xi) = \psi (\xi) e^{i\lambda (\xi)}$

Как я показал выше, функцию $\lambda(\xi)$ можно вычислить с помощью сингулярного интеграла от $\psi(\xi) = |\hat f (\xi)|$.
Далее начинается "привязка" теории к конкретным вычислениям. В теории нет децибелов и герц. Нет и БПФ. Вот здесь начинается Ваша задача: как применить эту теорию в данном конкретном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 19:20 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
То есть для того чтобы найти ФЧХ на данной частоте я вычисляю этот определенный интеграл по "частоте" z от минус до плюс бесконечности. и так для каждой частоты АФЧХ.
получив ФЧХ, я делаю преобразование фурье от АЧХ и ФЧХ и получаю сигнал.


а вы давали два разных интеграла, второй "позволяет избавиться от особенности". математически вроде все равно какой вычислять, примерно одинаковая сложность. а в чем их отличие?

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 20:17 
Заслуженный участник


22/11/10
1124
Первый интеграл с особенностью. Он существует только в смысле Коши. Второй интеграл "нормальный". В нем устранимая особенность.
Как я понимаю, на графике уже логарифм амплитуды (с точностью до множителя). Отражаем этот график и на отрицательную полуось. Получим функцию, которая как-то там меняется на отрезке $(-R,R)$ (здесь $R$ соответствует 24кгц или даже меньше), а вне него выходит на константу $K$ (примерно -90). Продолжаем эту функцию на всю ось константой $K$. Вот и получилась $\ln (\psi(\xi))$. Ее, по идее, и надо интегрировать. Однако ясно, что постоянная составляющая в этой функции - суть множитель искомого сигнала, который на фазу не влияет. Поэтому вычитаем константу $K$ (ту самую) и получаем функцию $g(\xi) = \ln (\psi(\xi)) - K$. Вот ее то мы и будем интегрировать. Самое главное, что она финитна. Поэтому проблемы с интегрированием по бесконечному интервалу не будет.

$\lambda (\xi) = -\frac {1}{\pi} \int \limits_{-R}^{R}\frac {g(z) - g(\xi)}{z - \xi}dz$

После этого вы получите $\hat f(\xi) = \psi(\xi)e^{i\lambda(\xi)}$. А затем и обратное преобразование Фурье
$f(t) = \frac {1}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty} \hat f (\xi) e^{-i\xi t} d\xi$

Отмечу, что "фаза" $\lambda (\xi)$ вовсе не финитна, а убывает на бесконечности порядка $\sim 1/\xi$.
Есть тут еще один вопрос. А получится ли в конце-концов вещественная функция? Вроде бы из соображений четности все должно получиться, но надо бы проверить. Если вдруг это не так, то задача станет более сложной.

(Оффтоп)

Возможно, я попробую показать Вам эту технику на каком-нибудь простом примере. Но уже не сегодня.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение17.10.2014, 20:45 
Аватара пользователя


08/08/14
963
Москва
2 sup:
у меня есть и "недецибельные" значения спектра, я сам их расчитываю.


интегралы я думаю вычислять тупо численно, суммируя подинтегральную функцию.

(я не оченьто математик могу не совсем правильно выражаться)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group