База топологии

[cool.phenon]

MSE молчит, поэтому размещаю это здесь.

Рассмотрим функциональное пространство гладких функций $C^{\infty}[a,b]$ и множество

$$\tau=\left\{B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r):f\in C^{\infty}[a,b],r\in\mathbb{N}\right\} $$

где $f$ -- произвольная функция, $r$ -- произвольное натуральное число, и

$$B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r)=\left\{h\in C^{\infty}[a,b]: |f^{(k)}(x)-h^{(k)}(x)|<\varepsilon_{k} \forall x\in[a,b] \forall k\in \overline{0,r}\right\} $$

Задача заключается в том, чтобы доказать, что $\tau$ является базой топологии на $C^{\infty}[a,b]$. Используем известный критерий:

$$1. \forall h\in C^{\infty}[a,b] \quad \exists B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r):h\in B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r) $$

Становится очевидным, если за $B$ взять $B(h,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r)$.

$$2.\forall B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r),B(g,\mu_0,\mu_1...\mu_r):B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r)\bigcap B(g,\mu_0,\mu_1...\mu_r)=C\ne \varnothing $$

$$\forall h\in C \quad \exists W\in \tau:h\in W\subset C$$

Здесь я застрял. Могу показать справедливость для некоторого $k\in \overline{0,r}$. Например, могу найти $W$ для $k=0$, но без гарантии, что $W$ будет удовлетворять условию при других $k$. Буду признателен, если поможете разобрать эту задачу.

[мат-ламер]

cool.phenon в сообщении #919643 писал(а):

Используем известный критерий:

Насчёт критерия не понял. Я вспоминаю, что там для любой окрестности $h$ существует множество из базы, содержащая $h$ и содержащаяся в окрестности $h$. Если что, то изучал это я давно.

-- Чт окт 16, 2014 20:58:54 --

мат-ламер в сообщении #919660 писал(а):

содержащая $h$

Это у вас есть. А это

мат-ламер в сообщении #919660 писал(а):

и содержащаяся в окрестности $h$

где?

-- Чт окт 16, 2014 21:01:06 --

cool.phenon в сообщении #919643 писал(а):

Задача заключается в том, чтобы доказать, что $\tau$ является базой топологии на $C^{\infty}[a,b]$

Может задача состоит в том, что это база некоторой топологии, которая ещё не задана? Тогда эта другая задача и другие аксиомы нужны для проверки.

[cool.phenon]

мат-ламер

В каком именно учебнике он показан, не могу сказать, но в английской вики он есть.

upd.

Ну вообще да, топология пока не известна, но эти свойства обязательно (если выполняются) задают некоторую топологию на $(X,\tau)$, задача и состоит в его использовании

[мат-ламер]

cool.phenon в сообщении #919666 писал(а):

В каком именно учебнике он показан,

В любом по общей топологии. Но я читал по Колмогорову-Фомину. Вспоминаю, что там должна присутствовать аксиома, что для любой точки из пересечения двух множеств из базы (потенциальной) должно существовать множество , принадлежащее этому пересечению, и содержащее эту точку.

-- Чт окт 16, 2014 21:15:49 --

Написанное касается базы некоторой топлогии (которая ещё не задана).

[cool.phenon]

мат-ламер
Это же и есть второе свойство, о котором я писал. Именно здесь у меня проблемы.

[мат-ламер]

cool.phenon
Я давно всё это изучал. Может кто-то ещё поможет.

(Оффтоп)

У меня дела по дому.