Игра в кости.

[PeanoJr]

Цитата:

В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятность выпадения 11 очков.

Перебором посчитал, что число благоприятных исходов $27$. Отсюда искомая вероятность $P(A)=\frac{27}{216}=\frac{1}{8}$
Можно ли посчитать количество благоприятных исходов более изящно,чем просто перебором?

upd: есть ещё такой вариант:

Выпишем подходящие наборы из трех чисел от 1 до 6: $(1,4,6),(1,5,5),(2,3,6),(2,4,5),(3,3,5),(3,4,4)$
Всевозможные варианты можно получить как перестановки из этих чисел, при этом там,где два одинаковых числа - будет 3 варианта, а где все три разные - 6 вариантов.
Итого вариантов: $6+6+6+3+3+3=27$

[Mihr]

В принципе, по-другому посчитать можно. Количество способов разбить натуральное $n$ в упорядоченную сумму $k$ натуральных слагаемых определяется комбинаторным числом сочетаний из $n-1$ по $k-1$, величиной $C_{n-1}^{k-1}$. В данном случае эта величина равна числу сочетаний из 10 по 2: $C_{11-1}^{3-1}=C_{10}^2=45$. Отсюда нужно вычесть число способов сделать это так, что одно из слагаемых равно 7, 8 или 9 (соответственно $3C_3^1=9$, $3C_2^1=6$, $3C_1^1=3$, что определяется по той же формуле). Получаем число подходящих элементарных исходов:
$C_{10}^2-3(C_3^1+C_2^1+C_1^1)=45-9-6-3=27$.