2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Аффинные пространства
Сообщение15.10.2014, 17:46 


22/07/12
560
Есть 2 плоскости аффинного пространства $P_1$ и $P_2$, одна задана параметрически, а другая общим уравнением, нужно найти размерность аффинной оболочки их объединения и стпень их параллельности. Я умею определять размерность, если оба уравнения в общем виде. Понятно, что я могу перейти от параметрического к общему. Вопрос, а если я подставлю данные из параметрического уравнения в общее, размерность просранства решений полученной СЛАУ как раз и будет размерностью пересечения или нет? А если вообще 2 уравнения в параметрическом и я приравняю одноимённые координаты, такой способ сработает?

 Профиль  
                  
 
 Аффинные пространства
Сообщение16.10.2014, 19:35 


22/07/12
560
Видимо без конкретики не ясно, о чём речь. Хорошо, тогда вот задача, после которой у меня возникли выше приведённые вопросы. Даны две плоскости в аффинном пространстве:
$$P_1 = \begin{cases}2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 = 6 \\
6x_1 + 5x_2 + 4x_3 + 3x_4 = 2   \end{cases}
P_2 = \begin{cases}x_1 = 1 - t_1 \\ x_2 = 1 + 2t_1 + t_2 \\ x_3 = 1-2t_1+2t_2 \\ x_4 = 1 + t_1 + t_2  \end{cases}$$
Нужно найти размерность аффинной оболочки объединения и размерность пересечения или степень параллельности.
Что я делаю. Я подставляю параметрические уравнения в общее уравнение, получил такую вот систему:
$$\begin{cases}t_1 - 16t_2 = 16 \\ t_1 + 16t_2 = -8 \end{cases}$$
Она имеет единственное решение, это значит, что данные 2-мерные плоскости в 4-мерном аффинном пространстве пересекаются в 1 точке (такое вообще возможно? :shock: ). Получается, что размерность пересечения равна 0, а для размерности объединения работает обычная формула Грассмана, то есть она равна 4. Ответ в моём задачнике: для объединения так же 4, но для пересечения сказано, что оно пустое, и степень параллельности равна 1. Что я делаю не так? Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение16.10.2014, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Так все просто - вы в дробях в знаках путаетесь не подеЦЦки. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение16.10.2014, 20:05 


22/07/12
560
Brukvalub в сообщении #919657 писал(а):
Так все просто - вы в дробях в знаках путаетесь не подеЦЦки. :D

Я ещё раз подставил, получились такие же уравнения. А какие получились у Вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение16.10.2014, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Ну раз Вы нашли точку, общую обеим плоскостям, значит, пересечение уже не пустое. А в задачниках могут быть опечатки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение16.10.2014, 22:21 


22/07/12
560
ex-math в сообщении #919741 писал(а):
Ну раз Вы нашли точку, общую обеим плоскостям, значит, пересечение уже не пустое. А в задачниках могут быть опечатки.

А то что две 2-мерные плоскости пересекаются в одной точке это нормально?????

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение16.10.2014, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
А две 1-мерные "плоскости" в двумерном пространстве могут пересекаться в одной точке?

-- 16.10.2014, 23:29 --

По сути, Вы решаете систему 4-х уравнений с 4-мя неизвестными. В зависимости от рангов матриц может быть любая размерность от 0 до 4. Ну или если учесть, что плоскости были все-таки двумерными, то от 0 до 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение16.10.2014, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
main.c в сообщении #919652 писал(а):
Она имеет единственное решение, это значит, что данные 2-мерные плоскости в 4-мерном аффинном пространстве пересекаются в 1 точке (такое вообще возможно? :shock: ).

Ну да. Если в $n$-мерном линейном пространстве есть линейные подпространства размерности $m$ и $k,$ то размерность их пересечения может быть в диапазоне от $\max\{0,m+k-n\}$ до $\min\{m,k\}.$ Ну а в аффинном есть ещё вариант, если они вообще не пересекаются. Если пересекаются хотя бы в одной точке - то возвращаемся к предыдущему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение18.10.2014, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
main.c в сообщении #919747 писал(а):
А то что две 2-мерные плоскости пересекаются в одной точке это нормально?????

ну, прямая и плоскость могут пересекаться по одной точке?-)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение18.10.2014, 09:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
alcoholist в сообщении #920111 писал(а):
ну, прямая и плоскость могут пересекаться по одной точке?-)))

Не всегда :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение18.10.2014, 13:13 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
main.c в сообщении #919747 писал(а):
А то что две 2-мерные плоскости пересекаются в одной точке это нормально?????
Но только нормально, но и типично для двух двумерных плоскостей в четырехмерном пространстве. Остальные случаи взаимного расположения редки, ибо частные. (Особенно редок случай скрещивания, который вообще невозможен :-) ) Ну а пересечение в точке характеризует две двумерные плоскости общего положения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение18.10.2014, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
VAL в сообщении #920193 писал(а):
Но только нормально, но и типично для двух двумерных плоскостей в четырехмерном пространстве. Остальные случаи взаимного расположения редки, ибо частные. (Особенно редок случай скрещивания, который вообще невозможен :-) )

Спорим на банку пива, что плоскости $x_0=0\wedge x_1=0$ и $x_0=1\wedge x_2=0$ скрещиваются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение18.10.2014, 14:28 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Munin в сообщении #920199 писал(а):
VAL в сообщении #920193 писал(а):
Но только нормально, но и типично для двух двумерных плоскостей в четырехмерном пространстве. Остальные случаи взаимного расположения редки, ибо частные. (Особенно редок случай скрещивания, который вообще невозможен :-) )

Спорим на банку пива, что плоскости $x_0=0\wedge x_1=0$ и $x_0=1\wedge x_2=0$ скрещиваются?
Вы с пивом сами подъедете или по почте пришлете? :-)

Две двумерные плоскости в четырехмерном пространстве в принципе не могут скрещиваться: тесно им там.
Возможные случаи:
совпадают;
пересекаются по прямой;
пересекаются в точке;
параллельны;
параллельны вдоль прямой.

Ваш - последний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение18.10.2014, 15:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
VAL, Вы имеете в виду какое-то кошерное скрещивание. Вот в учебнике Кострикина () всё по-простому. А в каком учебнике можно найти определение типа "параллельности вдоль прямой"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аффинные пространства
Сообщение18.10.2014, 16:04 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
nnosipov в сообщении #920251 писал(а):
VAL, Вы имеете в виду какое-то кошерное скрещивание. Вот в учебнике Кострикина () всё по-простому. А в каком учебнике можно найти определение типа "параллельности вдоль прямой"?
Ну, например, у Базылева: Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия I, 1974 г. Глава IV параграф 27, стр. 250.
Скрещивание определяется так:
направляющие пространства пересекаются по нуль-вектору;
сами плоскости не пересекаются.
Если же размерность пересечения направляющих пространств больше 0, но меньше размерности каждой плоскостей, а сами плоскости не пересекаются, то плоскости частично параллельны вдоль пересечения направляющих пространств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group