2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 12:24 


28/11/11
260
Региие в целых числах уравнение:

1) $258x-172y=112$

тут можно обе части уравнения разделить на $86$. Получим:

$3x-2y=\frac{56}{43}$

Левая часть -- целое число, правая часть не является целым числом. Таким образом уравнение не имеет решений в целых числах. Верно?

2) Решите в целых числах $209x-513y=76$

А как тут быть, тут уже не сократить ничего.
С чего тут начать? Есть ли какой-то общий подход для решений линейных уравнений с двумя переменными в целых числах? Где о нем можно почитать?

3) Решите в натуральных числах $2^x+7^y=19^z$

Как быть тут? Вижу только способ перебора.

4) Найдите сумму $1\cdot 1!+2\cdot 2!+...+n\cdot n!$

Это не арифметическая и не гометрическая прогрессия.
Как быть, от чего плясать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Совокупность этих задач в одном месте подобна книге о топоре, в которой подряд идут примеры, как топором драться, как им бриться, и как из него варить кашу.
1) верно, только обычно это излагают в терминах "что-то делится на 100500, а что-то не делится".
2)
mr.tumkan в сообщении #918424 писал(а):
А как тут быть, тут уже не сократить ничего.
Уверены?
Впрочем, сокращать не надо. (Да и там было не надо.) А надо... как бы сказать-то... Может, сначала попробовать аналогичные уравнения с маленькими числами? Например, $2x-3y=1$.
3) сделайте как-нибудь, потом будет видно.
4) найти первые 5 - 10 таких чисел, посмотреть; вдруг они на что-то похожи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 13:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Действительно, ну и винегрет.
mr.tumkan в сообщении #918424 писал(а):
Есть ли какой-то общий подход для решений линейных уравнений с двумя переменными в целых числах? Где о нем можно почитать?
Да, об этом лучше прочитать. Ищите что-нибудь типа "расширенный алгоритм Евклида", "линейная форма наибольшего общего делителя". Правда, эти штуки нужно будет додумать до собственно алгоритма решения уравнений вида $ax+by=c$ в целых числах $x$, $y$, но это уже можно сделать самостоятельно. Ну или сразу искать в готовом виде "линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными".

-- Пн окт 13, 2014 17:18:52 --

mr.tumkan в сообщении #918424 писал(а):
Вижу только способ перебора.
А как тут всё перебрать? Он же как бы бесконечен, этот перебор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 13:39 


28/11/11
260
Спасибо.
2) Действительно, делится на 19
$11x-27y=4$
Но а как дальше?
3) А хоть что-нибудь -- это что?
4) $1+8+18+96+600+4320$
Пока что не вижу закономерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
2) Действительно, рассмотрите более простое уравнение: $2x-3y=1$. Есть ли у него целочисленные решения? Какие, сколько, как они описываются?
3) Хоть что-нибудь - это найти перебором маленькие решения или их отсутствие.
4) Не надо таких чисел. Найдите несколько первых сумм.

-- менее минуты назад --

mr.tumkan в сообщении #918443 писал(а):
$1+8+18+96+600+4320$
Откуда это 8, кстати?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 15:47 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
3) посмотрите остатки по малым модулям
Например, по модулю $2$ уравнение выглядит как $0^x+1^y=1^z$ - ничего интересного.
Но может что-то содержательное получим по другим модулям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 16:33 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
mr.tumkan в сообщении #918424 писал(а):
4) Найдите сумму $1\cdot 1!+2\cdot 2!+...+n\cdot n!$

Можно прибавить сумму обычных факториалов, получится снова сумма обычных факториалов, но сдвинутая в большую сторону на единичку. Дальше остаётся найти формулу для суммы обычных факториалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 16:37 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
mr.tumkan в сообщении #918443 писал(а):
Но а как дальше?
nnosipov в сообщении #918434 писал(а):
"расширенный алгоритм Евклида", "линейная форма наибольшего общего делителя"
Как вы думаете, зачем nnosipov это написал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 16:44 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
B@R5uk в сообщении #918497 писал(а):
Дальше остаётся найти формулу для суммы обычных факториалов.
Вот это-то зачем? (Тем более что найти такую формулу не удастся.) В тоже время исходная сумма фактически уже найдена Вами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 18:51 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
nnosipov в сообщении #918500 писал(а):
В тоже время исходная сумма фактически уже найдена Вами.
А, точно. Прибавить к искомой сумме один факториал и вся сумма поочерёдно свернётся в один-единственный факториал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение13.10.2014, 19:12 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
mr.tumkan в сообщении #918424 писал(а):
4) Найдите сумму $1\cdot 1!+2\cdot 2!+...+n\cdot n!$
...
Как быть, от чего плясать?

Цитата:
One of the mathematician's most useful tricks is knowing when and how to add zero.

$a_k=k\cdot k! =$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение14.10.2014, 18:28 


28/11/11
260
ИСН в сообщении #918445 писал(а):
2) Действительно, рассмотрите более простое уравнение: $2x-3y=1$. Есть ли у него целочисленные решения? Какие, сколько, как они описываются?

$x=-1-3k, y=-1-2k$
А для второй задачи $209x-513y=76$ понятно теперь. Там получается $x=20-27k, y=8-11k$.
А с третьей и четвертой задачей пока что не ясно.
ИСН в сообщении #918445 писал(а):
3) Хоть что-нибудь - это найти перебором маленькие решения или их отсутствие.

При $z=0,1,2,3$ решений не будет.
Cash в сообщении #918484 писал(а):
3) посмотрите остатки по малым модулям
Например, по модулю $2$ уравнение выглядит как $0^x+1^y=1^z$ - ничего интересного.
Но может что-то содержательное получим по другим модулям?

По модулю $5$ выходит что-то интересное $2^x+2^y=4^z$, но как это использовать (хочется взять $x=y=z=1$)?
gefest_md в сообщении #918560 писал(а):
$a_k=k\cdot k! =$

$a_k=k\cdot k! =1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot k\cdot k$
Но как это поможет?
ИСН в сообщении #918445 писал(а):
4) Не надо таких чисел. Найдите несколько первых сумм.
$1+8+18+96+600+4320$ Откуда это 8, кстати?

Да, 8 не должно быть.
$S_1=1$
$S_2=1+4=5$
$S_3=5+18=23$
$S_4=23+96=119$
$S_6=119+600=719$
$S_7=719+4320=5039$
$S_8=5039+35280=40319$

Пока вижу только закономерность, что все суммы заканчиваются на $9$, начиная с четвертой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение14.10.2014, 19:30 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
mr.tumkan в сообщении #918923 писал(а):
По модулю $5$ выходит что-то интересное $2^x+2^y=4^z$, но как это использовать (хочется взять $x=y=z=1$)?

Никак. Другой модуль взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение14.10.2014, 20:54 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
mr.tumkan в сообщении #918923 писал(а):
gefest_md в сообщении #918560 писал(а):
$a_k=k\cdot k! =$

$a_k=k\cdot k! =1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot k\cdot k$
Но как это поможет?

Я имел в виду преобразовать как-то $k\cdot k!$ в разность. Для этого я подсказал прибавить к чему-то некоторое нулевое значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории чисел
Сообщение14.10.2014, 21:26 


28/11/11
260
Cash в сообщении #918949 писал(а):
mr.tumkan в сообщении #918923 писал(а):
По модулю $5$ выходит что-то интересное $2^x+2^y=4^z$, но как это использовать (хочется взять $x=y=z=1$)?

Никак. Другой модуль взять.

Я просто не понимаю -- что в итоге хочется получить подбором модуля.

-- 14.10.2014, 21:30 --

gefest_md в сообщении #918983 писал(а):
mr.tumkan в сообщении #918923 писал(а):
gefest_md в сообщении #918560 писал(а):
$a_k=k\cdot k! =$

$a_k=k\cdot k! =1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot k\cdot k$
Но как это поможет?

Я имел в виду преобразовать как-то $k\cdot k!$ в разность. Для этого я подсказал прибавить к чему-то некоторое нулевое значение.


$a_k=k!k=k!k+k!-k!=k!(k+1)-k!=(k+1)!-k!=$

$a_1+a_2+...+a_n=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n+1)!-n!=(n+1)!-1$

Верно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group