длина отрезка (Ефимов и др.)

[gefest_md]

Из учебника Ефимова:

Цитата:

Определение 12. Пусть каждому отрезку соответствует определенное положительное число, причем:
1) равным отрезкам соответствуют равные числа;
2) ...;
3) ...
Тогда число, указанным образом соответствующее каждому отрезку, называется длиной этого отрезка; ...

Докажем, что условия 1, 2 и 3 единственным образом определяют длину каждого отрезка.

Разве единственность не следует из условия 1) ($AB\equiv AB$)? Для доказательства единственности в учебнике излагается процесс измерения.

[Cash]

Ну, например, можно тогда всем отрезкам присвоить длину 3. или $\pi$. или $\sqrt 2 - \sqrt[3]3$ или... ну дальше сами

[gefest_md]

Цитата:

Определение 12
1) ...
2) если $B$ - точка отрезка $AC$ и отрезкам $AB$ и $BC$ соответствуют числа $a$ и $b$ , то отрезку $AC$ соответствует число $a+b$;
3) некоторому отрезку $OO'$ соответствует число, равное $1$.

Я не понял, что доказывается в учебнике после определения 12. Мне показалось, что там доказывается свойство длины быть функцией.

Цитата:

... сначала мы приведем доказательство единственности, затем доказательство существования длины.

Если так, то зачем в доказательстве единственности нужен процесс измерения (аксиома Архимеда)?

Cash в сообщении #914730 писал(а):

Ну, например, можно тогда всем отрезкам присвоить длину 3

Пусть $AB\not\equiv CD$ и пусть $AB>CD$. Тогда можно выбрать точку $P$ на отрезке $AB$ так, что $AP\equiv CD$. Допустим, что обоим отрезкам, $AB$ и $CD$, соответствует одно и то же число $a$. Отрезку $AP$ соответствует некоторое число $x$. Тогда по условию 1), $a=x$. Отрезку $PB$ соответствует некоторое число $y$. По условию 2), отрезку $AB$ соответствует число $x+y=a+y$. Далее по условию 1), $a=a+y>a$. Противоречие. Следовательно, двум неравным отрезкам не может соответствовать одно и то же число.

[Cash]

Вы задали вопрос: следует ли единственность из утверждения 1).
Ответ - не следует. Единственность следует из утверждений 1), 2) и 3).
Если интересует какой-то другой вопрос - его надо сформулировать

-- Сб окт 04, 2014 10:43:47 --

gefest_md в сообщении #915016 писал(а):

Я не понял, что доказывается в учебнике после определения 12. Мне показалось, что там доказывается свойство длины быть функцией.

Доказывается единственность отображения множества отрезков на $\mathbb R^+$, удовлетворяющего всем трем условиям.

[gefest_md]

Теперь кажется понял. Спрошу еще на всякий случай: отрезок $OO'$ из условия 3 - это конкретный отрезок, а не переменная? Так? Такой же конкретный, как число $1$?

[Cash]

Ну да. Иначе гомотетией мы получим новую меру.