2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 [теория категорий] Морфизм между экспоненциалами
Сообщение02.10.2014, 15:55 
Аватара пользователя


29/05/11
209
Красноармейск, Донецкая обл.
Рассмотрим некую категорию $\mathcal{C}$ с произведениями и дадим определение:
Экспоненциалом объектов $A$ и $B$ называется объект $A^B$ и морфизм $\operatorname{ev}: B\times A^B\to A$, причём всякому морфизму $f: B\times C\to A$ сопоставляется единственным образом морфизм $\hat{f}: C\to A^B$, делающий коммутирующей диаграмму $$\xymatrix{
B\times A^B \ar[rr]^{\operatorname{ev}} && A \\
B\times C \ar[u]^{\operatorname{id}_B}_{\hat{f}} \ar[rru]_f &&
}$$
то есть $\forall C\forall f\colon B\times C\to A\;\exists! \hat{f}\colon C\to A^B \quad f = \operatorname{ev} \circ \left[ \operatorname{id}_B, \hat{f} \right]$

Пусть имеется $g\colon D\to B$. Меня интересует, при каких условиях существует $\bar{g}\colon A^D \to A^B$, удовлетворяющий $$\xymatrix{
D\times A^D \ar[rrrd]^{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[dr]_{\left[g,\bar{g}\right]} &&& \\
& B\times A^B \ar[rr]^{\operatorname{ev}} && A \\
& B\times C \ar[u]^{\operatorname{id}_B}_{\hat{f}} \ar[rru]_f && \\
D\times C \ar[ru]_{\operatorname{id}_C}\ar[ru]^g \ar[uuu]^{\operatorname{id}_D} \ar[uuu]_{\widehat{f\circ\left[g,\operatorname{id}\right]}} &
}$$то есть $$\bar{g}\circ\left(\widehat{f\circ\left[g,\operatorname{id}_C\right]}\right) = \hat{f}\circ\operatorname{id}_C.$$
В категории множеств $\bar{g} = \hat{f} \mapsto \widehat{f\circ g}$

Подскажите, в какую сторону копать.

 Профиль  
                  
 
 Re: [теория категорий] Морфизм между экспоненциалами
Сообщение03.10.2014, 14:18 
Аватара пользователя


03/10/14

7
Цитата:
Пусть имеется $g\colon D\to B$. Меня интересует, при каких условиях существует $\bar{g}\colon A^D \to A^B$, удовлетворяющий
$$\bar{g}\circ\left(\widehat{f\circ\left[g,\operatorname{id}_C\right]}\right) = \hat{f}\circ\operatorname{id}_C.$$

уточняющие вопросьі:
1. только єто равенство (коммутативньій квадрат)? на диаграмме есть вверху треугольник, он тоже должен коммутировать?
2. равенство должно вьіполняться для фиксированного f или для всех f?

Цитата:
В категории множеств $\bar{g} = \hat{f} \mapsto \widehat{f\circ g}$

Есть проблема, в том, что Вьі записали. Чтобьі можно бьіло перемножить $f\circ g$, либо $g\colon D\to B$ должно идти в другую сторону, либо $\bar{g}\colon A^D \to A^B$ в другую. Функтор єкспоненциирования контравариантен по аргументу-степени. Вьі же записали якобьі ковариантньій функтор.

Цитата:
Подскажите, в какую сторону копать.

Сначала разобраться, нужен ковариантньій функтор или контравариантньій.
Читать:
http://nlab.mathforge.org/nlab/show/exponential+object
http://nlab.mathforge.org/nlab/show/car ... d+category

 Профиль  
                  
 
 Re: [теория категорий] Морфизм между экспоненциалами
Сообщение03.10.2014, 15:28 
Аватара пользователя


29/05/11
209
Красноармейск, Донецкая обл.
Верно, я всё напутал. Прошу прощения.

Я знаю, что $\mathfrak{Hom}\colon \mathcal{C}^{op}\times\mathcal{C}\to\mathrm{Set}$ контравариатен по первому аргументу и ковариантен по второму. Хочу понять, можно ли и в каких случаях можно перенести эти свойства на экспоненциалы, т.е. $A^B$ ковариантен по $A$ и контравариантен по $B$.

Диаграмму я нарисовал неправильно. Если рассматривать присоединение функции $g\colon D\to B$ cправа к $f$, то $\bar{g}$ должна быть направлена в другую сторону: $A^B\to A^D$. Я перерисую диаграмму. $f$ полагается произвольным морфизмом.

Про то, нужно ли требовать коммутацию треугольников, я подумаю.
Литературу почитаю, но беглым просмотром не нашел ничего про общий случай моего вопроса.

 Профиль  
                  
 
 Re: [теория категорий] Морфизм между экспоненциалами
Сообщение03.10.2014, 16:09 
Аватара пользователя


03/10/14

7
Ну, вики по ссьілкам - самьій полньій ресурс в сети по ТК. Может они и не затронули нужньій вам вопрос (я привьік на него ссьілаться, поскольку он лучший, но и он может бьіть неполньім).

Почему там контравариантность. В общем случае, если мьі по функтору двух аргументов $ L(-, -) $, ковариантному по обоим, строим $ R(-, -) $ такой, что при любом фиксированном первом аргументе функтор одного аргумента $ L(A, -) $ сопряжен слева функтору $ R(A, -) $, то полученньій $ R(-, -) $ будет контравариантньім по первому аргументу. В данном случае $ L(A, B) = A \times B $, $ R(A, B) = {B} ^ {A} $.

Сейчас нарисую доказательство, если надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: [теория категорий] Морфизм между экспоненциалами
Сообщение03.10.2014, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Mysterious Light в сообщении #914816 писал(а):
Я знаю, что $\mathfrak{Hom}\colon \mathcal{C}^{op}\times\mathcal{C}\to\mathrm{Set}$ контравариатен по первому аргументу и ковариантен по второму. Хочу понять, можно ли и в каких случаях можно перенести эти свойства на экспоненциалы, т.е. $A^B$ ковариантен по $A$ и контравариантен по $B$.

Ковариантность: морфизму $f\colon A_1 \to A_2$ соответствует морфизм $\widehat{f\circ \mathrm{ev}}\colon A_1^B \to A_2^B$.
С контравариантностью сложнее. Существовние $A^B$ дает взаимно-однозначное соответствие $\mathrm{Hom}(C, A^B) \leftrightarrow \mathrm{Hom}(C\times B, A)$, функториальное по всем переменным (контравариантно по $B$ и $C$, ковариантно по $A$).
Для $g\colon B_1\to B_2$ есть естественное преобразование из $\mathrm{Hom}(-\times B_2, A)$ в $\mathrm{Hom}(-\times B_1, A)$ (композиция с $\mathrm{id\times g}$), значит, есть естественное преобразование из $\mathrm{Hom}(-, A^{B_2})$ в $\mathrm{Hom}(-, A^{B_1})$ и по лемме Йонеды ему соответствует морфизм $A^{B_2}\to A^{B_1}$. Проверьте, не напутал ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: [теория категорий] Морфизм между экспоненциалами
Сообщение03.10.2014, 17:01 
Аватара пользователя


29/05/11
209
Красноармейск, Донецкая обл.
Спасибо всем, буду разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: [теория категорий] Морфизм между экспоненциалами
Сообщение04.10.2014, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Xaositect в сообщении #914834 писал(а):
Для $g\colon B_1\to B_2$ есть естественное преобразование из $\mathrm{Hom}(-\times B_2, A)$ в $\mathrm{Hom}(-\times B_1, A)$ (композиция с $\mathrm{id\times g}$), значит, есть естественное преобразование из $\mathrm{Hom}(-, A^{B_2})$ в $\mathrm{Hom}(-, A^{B_1})$ и по лемме Йонеды ему соответствует морфизм $A^{B_2}\to A^{B_1}$. Проверьте, не напутал ли.
В итоге получается $\widehat{\mathrm{ev}\circ[g, \mathrm{id}]}$.

 Профиль  
                  
 
 Итоги по мотивам Xaositect
Сообщение05.10.2014, 19:28 
Аватара пользователя


29/05/11
209
Красноармейск, Донецкая обл.
Ковариантность:
Сопоставляем $g\colon B\to D$ морфизм $\bar{g}\colon B^A\to D^A$
$$\xymatrix{
A\!\times\! D^A \ar[rr]^-{\operatorname{ev}} && D \\
A\!\times\! B^A \ar[r]^-{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[u]_{[\operatorname{id},\bar{g}]} & B \ar[ru]_g & \\
A\!\times\! C \ar[u]_{[\operatorname{id},\hat{f}]} \ar@(l,l)/^4pc/@{->}[uu]^{[\operatorname{id},\widehat{gf}]} \ar[ru]_f &&
}$$Коммутация либо левого треугольника, либо верхнего правого квадрата влечёт коммутацию всей диаграммы. Верхний квадрат не включает в себя "произвольный" $f$ $$\xymatrix{
A\!\times\! D^A \ar[rr]^-{\operatorname{ev}} && D \\
&  B \ar[ru]_g \\
A\!\times\! B^A \ar[ru]_-{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[uu]^{[\operatorname{id}_A, \bar{g}]} &
}$$ $\bar{g} = \widehat{g\circ\operatorname{ev}}$ существует и единственен, заставляющий коммутировать квадрат и верхнюю диаграмму.
Обращаем внимание, что $\overline{g_1\circ g_2} = \bar{g}_1 \circ \bar{g}_2$ по единственности из диаграммы $$\xymatrix{
A\!\times\! E^A \ar[r]^-{\operatorname{ev}} & E \\
A\!\times\! D^A \ar[r]^-{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[u]^{[\operatorname{id}_A, \bar{g}_1]} & D \ar[u]_{g_1} \\
A\!\times\! B^A \ar[r]_-{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[u]^{[\operatorname{id}_A, \bar{g}_2]} &  B \ar[u]_{g_2} 
}$$
Я так понимаю, $\operatorname{ev}_B \colon A\!\times\! B^A \to B$ типа алгебра.


Контравариантность:
Сопоставляем $g\colon D\to B$ морфизм $\bar{g}\colon B^A\to D^A$
$$\xymatrix{
D\!\times\! A^D \ar[rr]^-{\operatorname{ev}} && A \\
& B\!\times\! A^B \ar[ru]_{\operatorname{ev}} & \\
D\!\times\! A^B \ar[ru]_{[g,\operatorname{id}]} \ar@{-->}[uu]^{[\operatorname{id},\bar{g}]}
}$$ $\bar{g} = \hat{\;}\left(\operatorname{ev}\circ [g,\operatorname{id}_{A^B}]\right)$ существует и единственно, заставляющее коммутировать приведённую диаграмму.
Аналогично показывается, что $\overline{g_1\circ g_2} = \bar{g}_2 \circ \bar{g}_1$

Так как-то. В принципе, смысл формул в двух случаях понятен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group