2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение01.10.2014, 19:24 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
Всем математикам известна Великая теорема Ферма - не буду приводить ее формулировку. Но очевидно никто не знает что существует частный случай этой теоремы. А именно: формула $a^3+b^3=c^2$ верна для большого множества целых значений величин a, b и c.
Предлагаю участникам форума найти эти значения a, b и c.
Открою секрет - мне эти значения известны

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение01.10.2014, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1408
Самое нетривиальное решение:
$1^3+2^3=3^2$

:-)

Если серьёзно: почему Вы думаете, будто уравнение $a^3+b^3=c^2$ есть частный случай Великой теоремы Ферма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение01.10.2014, 20:01 
Заморожен


20/12/10
5623
IGOR1 в сообщении #914318 писал(а):
Но очевидно никто не знает что существует частный случай этой теоремы. А именно: формула a^3+b^3=c^2 верна для большого множества целых значений величин a, b и c.
Конечно, никто не знает об этом частном случае. Потому что это не частный случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение01.10.2014, 20:28 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
В.Серпинский "О решении уравнений в целых числах" стр.66.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение01.10.2014, 22:19 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
Случай $1^3+2^3=3^2$ не подходит так как ни одно из чисел a, b и c не должно равняться единице - это можно было понять без моего уточнения. Так же без моего уточнения можно было понять что эти числа являются взаимно простыми - у В.Серпинского в "О решении уравнений в целых числах" стр.66. эти числа не являются взаимно простыми, т.е. ссылки на Серпинского отпадают.
Итак - решение этой проблемы пока никому не известно - а ведь Эйлер поднимал этот вопрос в своих письмах - только ему это решение было известно (и насколько я понял - мне оно тоже известно)
Уважаемые участники - попытайтесь найти взаимно простые числа a, b и c (ни одно из них не равно единице) так что $a^3+b^3=c^2$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.10.2014, 23:11 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5608
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

IGOR1
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение02.10.2014, 00:00 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
$$\begin{array}{rcccl}a&=&433\lefteqn{,}&\\b&=&242&=&2\cdot11^2,\\c&=&9765&=&3^2\cdot5\cdot7\cdot31.$\end{matrix}$$

-- Чт окт 02, 2014 01:02:07 --

И да, я воспользовался формулой из Серпинского на с. 66.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение02.10.2014, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14203
Новомосковск
Решения в натуральных числах, удовлетворяющие условиям $1<a\leqslant 1000$, $a<b\leqslant 10000$, $a$ и $b$ взаимно просты.
$11^3+37^3=228^2$
$23^3+1177^3=40380^2$
$56^3+65^3=671^2$
$57^3+112^3=1261^2$
$122^3+1201^3=41643^2$
$193^3+3482^3=205485^2$
$217^3+312^3=6371^2$
$242^3+433^3=9765^2$
$305^3+1064^3=35113^2$
$592^3+1617^3=66599^2$
$781^3+4019^3=255720^2$
$851^3+877^3=35928^2$
$889^3+4440^3=297037^2$

IGOR1 в сообщении #914414 писал(а):
Случай $1^3+2^3=3^2$ не подходит так как ни одно из чисел a, b и c не должно равняться единице - это можно было понять без моего уточнения.
Условие, не сформулированное явно, использовать нельзя.

Mihr в сообщении #914342 писал(а):
Если серьёзно: почему Вы думаете, будто уравнение $a^3+b^3=c^2$ есть частный случай Великой теоремы Ферма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение02.10.2014, 08:29 


26/08/11
1594
Параметризация всех взаимнопростых решений задача интересная, но не трудная. Сводится к решению двух систем:
$\\a+b=m^2\\
a^2-ab+b^2=n^2$

а также
$\\a+b=3m^2\\
a^2-ab+b^2=3n^2$

Вторые уравнения - однородные второй степени, подставив решения в первых - опять. Ничего сложного. Только нужно рассмотреть внимательно все возможные случаи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение02.10.2014, 11:47 
Заслуженный участник


17/09/10
1561
Морделл дает пять 2-параметризаций для решений исходного уравнения.
Их можно посмотреть в "Diophantine equations" L.J. Mordell на стр. 235

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение03.10.2014, 21:46 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
Браво Someone! Но очевидно приведенные вами решения в натуральных числах найдены не вами а машиной. Вы не нашли общих формул для величин a, b и c.
Браво Shadow! Но опять же вы не довели до конца решение проблемы - я буду аплодировать вам когда вы приведете общие формулы для величин a, b и c.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение04.10.2014, 05:03 
Заморожен


20/12/10
5623
IGOR1 в сообщении #914912 писал(а):
я буду аплодировать вам когда вы приведете общие формулы для величин a, b и c.

scwec в сообщении #914512 писал(а):
Их можно посмотреть в "Diophantine equations" L.J. Mordell на стр. 235
Эти-то чем не устраивают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение04.10.2014, 18:32 


26/08/11
1594
Хорошо, я решения Морделл не смотрел, попробую ничего не пропустить. Так как одно из $a,b$ должно быть нечетным, мне кажется удобнее перейти к новым переменным, зафиксировать $b$ нечетное:
1)
$\\(2a-b)+3b=2m^2\\
(2a-b)^2+3b^2=(2n)^2$
или
$\\x+3y=2m^2\\
x^2+3y^2=(2n)^2$
где $x,y$ - нечетные взаимнопростые. Решаем второе уравнение с помощью формулу разности квадратов:

$(2n+x)(2n-x)=3y^2$

$2n+x=p^2, \quad 2n-x=3q^2$
$\\x=(p^2-3q^2)/2\\
y=pq$

где $p,q$ - взаимнопростые нечетные, $p\not \equiv 0 \pmod 3$. Второй случай не рассматвираем, т.к. из первого уравнения $x \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow 2x \equiv 1 \pmod 3$
Подставляем решения в первое уравнение:
$\\p^2-3q^2+6pq=(2m)^2\\
(2p)^2-3(p-q)^2=(2m)^2\\
(2p)^2-(2m)^2=3(p-q)^2
$
$p-q=2t,\quad p^2-m^2=3t^2$. По модулю 4 $t$ - четное. Или:
$\\p+m=6u^2\\
p-m=2v^2\\
p=3u^2+v^2\\
q=3u^2+v^2-4uv$

где $u,v$ взаимнопростые разной четности, $v\not \equiv 0 \pmod 3$
А также
$\\p=u^2+3v^2\\
q=u^2+3v^2-4uv
$

где $u\not \equiv 0 \pmod 3$

Или (пишу решения только для $a,b$)

$\\b=(u-v)(3u-v)(3u^2+v^2)\\
a=4uv(3u^2-3uv+v^2)\\
v \not\equiv 0 \pmod 3
$
и
$\\b=(u-v)(u-3v)(u^2+3v^2)\\
a=4uv(u^2-3uv+3v^2)\\
u\not \equiv 0 \pmod 3
$

где $u,v$ взаимнопростые разной четности.

Ладно, второй случай также по школьному решается, не буду подробно расписывать. Если чего не пропустил получается:
$\\b=-u^4+6u^2v^2+3v^4\\
a=u^4+6u^2v^2-3v^4$

$\\b=-3u^4+6u^2v^2+v^4\\
a=3u^4+6u^2v^2-v^4$

где $u,v$ разной четности.

А также
$\\b=(-3u^4+6u^2v^2+v^4)/4\\
a=(3u^4+6u^2v^2-v^4)/4$

где $u,v$ нечетные.

Напоминаю, решения только для нечетых $b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение04.10.2014, 19:03 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
Someone! Я аплодирую вам. Формулы, которые вы вывели, точно совпадают с теми формулами, которые я вывел 42 года назад, будучи студентом одного из Московских вузов. Я прочитал об этой задаче в одном научном журнале - этот журнал утверждал что решение этой задачи неизвестно - а задача была поставлена самим Ферма. Сейчас уровень ученых заметно возрос - щелкают такие задачи как орешки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частный случай Великой теоремы Ферма
Сообщение04.10.2014, 19:34 


26/08/11
1594
IGOR1 в сообщении #915118 писал(а):
этот журнал утверждал что решение этой задачи неизвестно

Сильно сомневаюсь. Наверное имелось ввиду все решения уравнения, а не только взаимнопростые - уравнение не однородное, все решения нельзя вывести из взаимнопростых. Например если положить $a=tu,b=tv$, для любых взаимнопростых $u,v$ есть подходящее $t$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group