2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальные операции второго порядка
Сообщение28.09.2014, 19:00 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Цитата:
Вычислить

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b]$

$a,b$ - векторные поля.


Единственное, что приходит в голову:

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = // \vec B = \operatorname{rot} \vec b// =\operatorname{rot}[a, B] = [\nabla,[a,B]]=[\nabla,[a',B]]+[\nabla,[a,B']]$

Далее к каждому слагаемому применить формулу $[a[bc]]=b(ac)-c(ab)$. Пробовал по разному преобразовывать выражения, но ничего хорошего не получается.

Помогите, пожалуйста.

P.S. Штрихи - это "стрелочка над символом", то есть значок, указывающий на что действует набла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные операции второго порядка
Сообщение28.09.2014, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Правильным путём идёте, только надо до конца добить.

-- 28.09.2014 20:17:48 --

P. S. И не надо бояться операции $(\vec{a}\nabla)\vec{b},$ она ещё пишется $(\vec{a}\operatorname{grad})\vec{b},$ и называется градиентом по направлению. Особенно, если она у вас будет в промежуточных выкладках, а в конце исчезнет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные операции второго порядка
Сообщение28.09.2014, 19:46 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = // \vec B = \operatorname{rot} \vec b// =\operatorname{rot}[a, B] = [\nabla,[a,B]]=[\nabla,[a',B]]+[\nabla,[a,B']]$

1) $[\nabla,[a',B]]=a'(\nabla B)-B(\nabla a')=a'(\nabla \operatorname{rot} b)-\operatorname{rot}b(\operatorname{div} a)$
2) $[\nabla,[a,B']]=a(\nabla B')-B'(\nabla a)=a(\operatorname{div}\operatorname{rot}b)-B'(\nabla a)=-B' (\nabla a)$

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = a'(\nabla \operatorname{rot} b)-\operatorname{rot}b \operatorname{div} a -(\operatorname{rot}b)' (\nabla a)$

Оказывается, вот такой ответ будет. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные операции второго порядка
Сообщение28.09.2014, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
У вас штрихи остались. Чтобы их убрать, "покрутите" произведения, меняя местами сомножители, чтобы привести их к виду "то, на что набла не действует - набла - то, на что набла действует".

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные операции второго порядка
Сообщение28.09.2014, 23:08 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
kis в сообщении #913317 писал(а):
$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = // \vec B = \operatorname{rot} \vec b// =\operatorname{rot}[a, B] = [\nabla,[a,B]]=[\nabla,[a',B]]+[\nabla,[a,B']]$

1) $[\nabla,[a',B]]=a'(\nabla B)-B(\nabla a')=a'(\nabla \operatorname{rot} b)-\operatorname{rot}b(\operatorname{div} a)$
2) $[\nabla,[a,B']]=a(\nabla B')-B'(\nabla a)=a(\operatorname{div}\operatorname{rot}b)-B'(\nabla a)=-B' (\nabla a)$

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = a'(\nabla \operatorname{rot} b)-\operatorname{rot}b \operatorname{div} a -(\operatorname{rot}b)' (\nabla a)$

Оказывается, вот такой ответ будет. Спасибо!


$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = (\operatorname{rot} b \nabla ) a - \operatorname{rot}b \operatorname{div} a - ( a \nabla)\operatorname{rot}b$

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные операции второго порядка
Сообщение29.09.2014, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
kis в сообщении #913443 писал(а):
$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = (\operatorname{rot} b \nabla ) a - \operatorname{rot}b \operatorname{div} a - ( a \nabla)\operatorname{rot}b$

Спасибо!


Я особо в этом не смыслю, но почему ответом считается выражение справа, а не слева? Левое же в 10 раз короче и приятнее. Или они чем-то принципиально отличаются? Расскажите, пожалуйста!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group