2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 17:53 
Аватара пользователя


31/10/08
802
Помогите разобраться с аппроксимация рационально полиномиальной функцией
$R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{\sum_ {k=0}^{M} b_{k} x ^{k} } { 1 + \sum_ {k=1}^{L} a_{k} x ^{k}} $
Помогите разобраться как это сделать? Интересует аппроксимация по методу МНК или любым другим.
Интересует M,L около 10 и более
Приветствуются книги, статьи, алгоритмы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 18:01 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Как вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 18:08 
Заслуженный участник


15/05/05
3353
USA
Pavia в сообщении #913247 писал(а):
Помогите разобраться с аппроксимация рационально полиномиальной функцией ...
Интересует M,L около 10 и более...
В крайнем случае можно свести к общей задаче минимизации [квадрата] невязки - нелинейная минимизация функции от "около 20 и более" переменных $a_k, b_k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 18:09 
Заслуженный участник


08/04/08
8373

(глупый оффтоп)

Я ничего не понимаю, но можно взять $M+L+1$ значений исходной функции, подставить, получить СЛУ с $M+L+1$ уравнениями, у которой определитель что-то вроде определителя Вандермонда. Ну и решить ее.
Хотя это будет интерполяция, а не аппроксимация :facepalm: :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 19:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11748
Кронштадт
Или я что-то не понимаю, или это аппроксимация Паде.

Если второе, то в любом гугле по словосочетаниям "аппроксимация Паде" и "алгоритм аппроксимации Паде" найдется целый воз книг, статей и алгоритмов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 20:42 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
Pphantom в сообщении #913281 писал(а):
Или я что-то не понимаю, или это аппроксимация Паде.

Нет, это отнюдь не Паде. Паде -- это всего лишь разложение в ряд, а здесь требуется именно сглаживание.

Строго говоря, эта задача явно некорректна. Хотя бы потому, что если задать эту рациональную дробь наобум, а потом рассыпать точки как угодно вдоль графика, то сама эта дробь, естественно, и будет решением. Однико при этом она запросто может иметь разрывы между точками; а оно нам надо?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 21:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11748
Кронштадт
ewert в сообщении #913362 писал(а):
Нет, это отнюдь не Паде. Паде -- это всего лишь разложение в ряд, а здесь требуется именно сглаживание.
В имеющейся постановке, по идее, одно легко сводится к другому - аппроксимируем данные полиномами, считаем полученную аппроксимацию точным рядом Тейлора, считаем аппроксимацию Паде. Поскольку точного критерия аппроксимации нет, то, возможно, и так сойдет. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 21:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
Pphantom в сообщении #913379 писал(а):
возможно, и так сойдет.

Не сойдёт: по мере удаления от точки разложения Паде будет приплясывать относительно полинома (якобы наилучшего) всё сильнее. Т.е. такая процедура с практической точки зрения попросту бессмысленна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 21:16 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11748
Кронштадт
ewert в сообщении #913386 писал(а):
Не сойдёт: по мере удаления от точки разложения Паде будет приплясывать относительно полинома (якобы наилучшего) всё сильнее. Т.е. такая процедура с практической точки зрения попросту бессмысленна.
Да, пожалуй. Ладно, значит это отменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 21:43 
Аватара пользователя


31/10/08
802
ewert
Пока бегло пробежался. Насколько понял аппроксимация Падье это преобразования ряда в дробь.
По поводу разрывов. Для тех задач которые мне надо решать они только вредят. Но хотелось бы иметь полный ответ. Уметь решать и те задачи где есть разрывы и где их не должно быть.

Цитата:
Хотя бы потому, что если задать эту рациональную дробь наобум, а потом рассыпать точки как угодно вдоль графика, то сама эта дробь, естественно, и будет решением.
Есть теория которая расходиться с практикой. Теоретически искажения от линзы описываются рационально полиномиальной функцией, а практика показывает что устранение лучше вести полиномиальной функцией. Но это второстепенная задача.
Первичная задача. Пользователь вводит передаточную функцию КИХ фильтра. В принципе она табулированная и может быть какой угодно. В том смысле что это не классический радио фильтр заграждающий и все пропускающей.
Так вот этот фильтр хочу аппроксимировать БИХ фильтром или рекурсивным.

Pphantom
Да и в правду в 3-ей ссылке было описание и книга. Странно вроде до этого искал по этим же словам и ничего не нашел. :oops:
Ушел читать "Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. (Baker,Graves-Morris) Аппроксимации Паде"

Гиф, что-то не вставляется. Рис 1.
http://www.ega-math.narod.ru/Books/Baker.htm
Проблема Паде в том что надо раскладывать функцию в ряд и усекать его. А при этом теряется значительная часть информации.
Посмотрите насколько расходится ряд Тейлора и аппроксимация.
До сих пор не нашел ответа о том как выбирать M и L что-бы получить наилучшее и/или правильную аппроксимацию. Пока предполагаю перебором.

Sonic86
Не всё так просто. При умножение на знаменатель теряется информация о полюсах, а они очень сильно влияют на результат. Как бы 3 проблемы я уже озвучил. А ещё есть ряд проблем: как влияет округления при промежуточных решениях и зависимость точности от исходных данных.
Но думаю придется всё аккуратно расписать ручками. И использовать наработке по Паде аппроксимации которые найду в книгах.

Yuri Gendelman
Для меня это тёмный лес.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация рационально полиномиальной функцией
Сообщение28.09.2014, 21:56 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Pavia в сообщении #913412 писал(а):
Пользователь вводит передаточную функцию КИХ фильтра. В принципе она табулированная и может быть какой угодно. В том смысле что это не классический радио фильтр заграждающий и все пропускающей.
Так вот этот фильтр хочу аппроксимировать БИХ фильтром или рекурсивным.

Если в книгах по фильтрам этого нет, то смотрите книге по анализу временных рядов (например Бокса - Дженкинса). Задача: как из ряда скользящего среднего получить авторегрессию и как выбрать её порядок.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group