2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Проекторы
Сообщение27.09.2014, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
Есть у меня некий линейный оператор $\omega$, действующий в линейном пространстве размерности $d$. Иногда из него удаётся составить проектор $P$. Это сразу же облегчает разрешение некоторых уравнений. Следовательно, проектор - это хорошо! Иногда (зависит от $d$) не удаётся. И это печально. А иногда удаётся составить более одного проектора.

Так вот, хотелось бы знать - это просто хорошо или очень хорошо? Другими словами, способствует ли сей знаменательный факт появлению более чем двух инвариантных подпространств или ситуация не лучше случая существования одного проектора и у меня всего лишь появляется некоторая свобода выбора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поекторы
Сообщение27.09.2014, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Для начала разговора: каким образом составить?

(Страшный зверь - поектор.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение27.09.2014, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
Например, в случае $d=3, \quad \omega ^3  = \omega \quad ,$ и можно сочинить три проектора $$\omega ^2 ,\quad \frac{{\omega ^2  \pm \omega }}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение27.09.2014, 23:24 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Такое впечатление, что вы чего-то недоговариваете о вашем неком операторе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение27.09.2014, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
popolznev в сообщении #912960 писал(а):
вы чего-то недоговариваете о вашем неком операторе

В примере выше это произвольная матрица $3 \times 3$, связанная только условием $\omega ^3  = \omega$. В других размерностях всё аналогично, только условия красивше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение27.09.2014, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Если $p(A)$ является проектором (где $p$ - полином одной переменой), то спектр $A$ принадлежит $p^{-1}(\{0,1\})$.

-- Сб, 27 сен 2014 13:46:16 --

Более того, применяя это аргумент к каждому жорданову блоку, получаем, что ядро и образ проектора будут инвариантными подпространствами исходного оператора (наверное, можно и проще).

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение27.09.2014, 23:46 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Утундрий в сообщении #912962 писал(а):
popolznev в сообщении #912960 писал(а):
вы чего-то недоговариваете о вашем неком операторе

В примере выше это произвольная матрица $3 \times 3$, связанная только условием $\omega ^3  = \omega$. В других размерностях всё аналогично, только условия красивше.
Ну вот да, я так и подумал, что есть какое-то соотношение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение28.09.2014, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
g______d в сообщении #912966 писал(а):
ядро и образ проектора будут инвариантными подпространствами исходного оператора
То есть других инвариантных пространств вычленить не получится?

popolznev в сообщении #912972 писал(а):
я так и подумал, что есть какое-то соотношение
Вы его просто не заметили - оно там справа от размерности привинчено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение28.09.2014, 00:15 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Цитата:
Цитата:
соотношение
Вы его просто не заметили - оно там справа от размерности привинчено.
Да, в случае размерности, отличной от трёх, я его и по сию пору не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение28.09.2014, 00:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Утундрий в сообщении #912930 писал(а):
Иногда (зависит от $d$) не удаётся.

А что, правда иногда не удается? Когда?

-- 28.09.2014, 03:20 --

popolznev в сообщении #912980 писал(а):
Да, в случае размерности, отличной от трёх, я его и по сию пору не вижу.

Ну характеристический многочлен, по крайней мере, всегда есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение28.09.2014, 00:24 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Цитата:
Ну характеристический многочлен, по крайней мере, всегда есть.
Вот именно что всегда. Но тут как будто подразумевается что-то такое, что бывает не всегда (например, таково условие $\omega^3 = \omega$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение28.09.2014, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Утундрий в сообщении #912977 писал(а):
То есть других инвариантных пространств вычленить не получится?


Ну, проектор же не один, как Вы говорите. По одному на каждый. Кроме того, инвариантные пространства можно пересекать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение28.09.2014, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #912944 писал(а):
Например, в случае $d=3, \quad \omega ^3  = \omega$

Рассмотрим жорданову нормальную форму оператора $\omega.$ Из равенства $\omega^3=\omega$ легко получим, что в жордановой нормальной форме $\omega=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ (по крайней мере, над полями $\mathbb{R},\mathbb{C}$). Отсюда, как я понимаю, получается, что если $\omega$ - проектор, то и все полиномы от него - проекторы в то же самое подпространство. Не обязательно на: в общем случае $\lambda_1\ne\lambda_2\ne\lambda_3\ne\lambda_1,$ можно выбирать любое подмножество жордановых клеток, и проецировать на соответствующее подпространство. Но для этого надо знать точно сами собственные значения, а если их не знать - получится в общем случае проектор на то же самое подпространство, что и у исходного $\omega.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение28.09.2014, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
popolznev в сообщении #912980 писал(а):
в случае размерности, отличной от трёх, я его и по сию пору не вижу

Я бы с удовольствием вывалил сюда весь имеющийся ворох условий, но погожу, так как пока что не определился с диапазонами значений коэффициентов.
g______d в сообщении #912985 писал(а):
Кроме того, инвариантные пространства можно пересекать.

Вооот! Так в этом же и вопрос. Как это делается технически?

-- Вс сен 28, 2014 01:45:45 --

Munin в сообщении #912988 писал(а):
если $\omega$ - проектор

Совсем не обязательно. Это я среди функций от $\omega$ проекторы ищу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекторы
Сообщение28.09.2014, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #912991 писал(а):
Совсем не обязательно. Это я среди функций от $\omega$ проекторы ищу.

Я оговорился. Разумеется, не нужно, чтобы $\omega$ был проектором. Я забыл, что проектор должен оставлять подпространство неизменным. Вместо "проектор" у меня стоит читать "вырожденный эрмитов оператор". (и даже не обязательно вырожденный...)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group