2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение23.09.2014, 19:56 


23/09/14
2
Здравствуйте! Подскажите как решить такую задачу: можно ли покрыть плоскость конечным числом полос (прямоугольников с конечной шириной и бесконечной длиной)?
для меньшей размерности решение очевидно, но как-то свести к ней (индукций по размерности или проекцией на оси) не удается.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение23.09.2014, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1596
spb
Ну по рациональной точке возьмите

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение23.09.2014, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
Нужно "от противного" доказывать, что такое покрытие невозможно. Сначала можно взять произвольный конечный набор полос и при наличии в нем параллельных друг другу полос заполнить пространство между их краями, сведя задачу к набору попарно не параллельных полос. Затем можно рассмотреть единичные векторы, параллельные сторонам полос (по одному для каждой полосы), стащить эти векторы к одному началу, рассмотреть два "соседних" вектора, после чего доказать, что между полосами, соответствующими этим "соседним" векторам обязательно образуется угол, часть которого ничем не покроется.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение23.09.2014, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13166
с Территории
Слишком много букв. Возьмём тупо большой, большой, совсем большой круг. Его площадь столько-то, а каждая полоса вырезает максимум столько-то. Упс.

-- менее минуты назад --

Интереснее с параболами.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение23.09.2014, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
ИСН в сообщении #911074 писал(а):
Слишком много букв. Возьмём тупо большой, большой, совсем большой круг. Его площадь столько-то, а каждая полоса вырезает максимум столько-то. Упс.

-- менее минуты назад --

Интереснее с параболами.
Имеется в виду, что площадь пересечения полосы с кругом с какого-то момента растет как линейная функция от радиуса круга?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение23.09.2014, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13166
с Территории
Не то что с какого-то момента, а с самого начала она мажорируется очевидной линейной функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение23.09.2014, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
ИСН в сообщении #911083 писал(а):
Не то что с какого-то момента, а с самого начала она мажорируется очевидной линейной функцией.
С самого начала и ОЧЕНЬ долго еще большой круг может находиться все еще целиком внутри полосы, и тогда никто ничем, кроме площади круга, не мажорируется. Но Ваша идея - явно красивее моей!

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение24.09.2014, 06:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31278
math_seeker в сообщении #911057 писал(а):
для меньшей размерности решение очевидно, но как-то свести к ней

Тривиально свести: существует ли линия, не параллельная ни одной из полос?...

-- Ср сен 24, 2014 07:37:18 --

ИСН в сообщении #911074 писал(а):
Интереснее с параболами.

Ровно аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение24.09.2014, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13166
с Территории
А, ну да, так ещё очевиднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение24.09.2014, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Если лень искать линию, не параллельную никакой полосе, то можно взять произвольную толстую полосу (толще суммы толщин всех полос)

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение24.09.2014, 11:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31278
TOTAL в сообщении #911347 писал(а):
Если лень искать линию, не параллельную никакой полосе,

как может быть лень делать то, что делать вовсе не нужно

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение24.09.2014, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Если $n$ полосами можно замостить целую плоскость, то $n-1$ полосами можно замостить половину плоскости, $n-2$ полосами можно замостить четвертину плоскости и т.д. Противоречие, т.к. последней полосой можно будет замостить уголок, хоть и очень острый.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение24.09.2014, 13:05 
Заслуженный участник


14/01/11
1669
Похоже, отсюда следует, что чем-то выпуклым, взятым в конечном числе, плоскость можно замостить тогда и только тогда, когда оно содержит хоть какой-нибудь уголок.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение24.09.2014, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13166
с Территории
Нет.

-- менее минуты назад --

Upd. Ах, выпуклым. Тогда да, наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите решить олимпиадную задачу
Сообщение24.09.2014, 14:23 


01/12/11
1023
Укладывать полосы надо, начиная с границ плоскости.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group