2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальное уравнение
Сообщение22.09.2014, 10:42 


09/01/14
257
Здравствуйте.
Есть вот такое дифф. уравнение:
$xdy=(y+\sqrt{x^2+y^2})dx$
$1. \ x\equiv0$ - решение.
$2.$ Делаю замену $\ y=z(x)x$ и получаю
$z'x=|x|\sqrt{1+z^2}$
Рассматриваю случаи $x>0,\ x<0$.
Первый даёт $x^2=C(y+\sqrt{x^2+y^2})\  (1)$. Второй даёт $y+\sqrt{x^2+y^2}=C \ (2)$.

Заглядываю в ответы: там только $x=0$ и $x^2=C(y+\sqrt{x^2+y^2})$. Подставил $(2)$ – действительно не является решением.
Собственно, вопрос вот в чём: можно ли было как-то сразу понять, что $(2)$ не будет решением, или, вообще, по-хорошему все решения просто нужно проверять подстановкой в исходное уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение22.09.2014, 11:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4277
tech в сообщении #910442 писал(а):
Делаю замену $\ y=z(x)x$ и получаю
$z'x=|x|\sqrt{1+z^2}$

По-моему, Вы ошиблись. Должно получиться просто
$z'x=\sqrt{1+z^2}$,
а у Вас лишний множитель $|x|$. Проверьте.
По поводу Вашего вопроса: проверка делается лишь для самоконтроля. Если Вы уверены, что решение верно, можно обойтись без проверки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение22.09.2014, 11:59 


09/01/14
257
Mihr
Да, точно, опечатался. Там должно быть $x(z'x+z)=(zx+|x|\sqrt{1+z^2})$.
И следовательно $z'x=\pm\sqrt{1+z^2}$.
А почему Вы сразу записали $z'x=\sqrt{1+z^2}$ (отбросили минус)?

Случай $+$ даёт $x^2=C(y+\sqrt{x^2+y^2})\  (1)$. Случай $-$ даёт $y+\sqrt{x^2+y^2}=C \ (2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение
Сообщение22.09.2014, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4277
tech в сообщении #910473 писал(а):
А почему Вы сразу записали $z'x=\sqrt{1+z^2}$ (отбросили минус)?

По невнимательности :-). Просто мне бросился в глаза лишний множитель, и я написал об этом, не вникая в решение до конца.
Но теперь посмотрел внимательней. Вы где-то ошиблись в знаке:
tech в сообщении #910473 писал(а):
Случай $-$ даёт $y+\sqrt{x^2+y^2}=C \ (2)$

На самом деле, случай $-$ даёт $y-\sqrt{x^2+y^2}=C \ $
И это правильное решение (подставьте в исходное ДУ и убедитесь).
А почему его нет в ответе - это уже вопрос к авторам задачника. Или, может быть, требовалось найти решение лишь в области $x>0$? В любом случае, на этот вопрос я Вам не отвечу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group