2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение29.09.2014, 18:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Munin в сообщении #913685 писал(а):
Я, например, не знаю, можно ли одномерное пересечение двух квадратичных поверхностей всегда представить как пересечение цилиндра и другой поверхности.
По-моему, нельзя. Иначе проекция этой кривой на некоторую плоскость была бы кривой 2-го порядка. Но когда мы из двух квадратичных уравнений 2-го порядка исключим одну из координат, относительно двух оставшихся координат получится, вообще говоря, что-то 4-й (кажется) степени.

Да и, кстати, в размерности на единицу меньше очевидно нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение29.09.2014, 18:23 


23/01/07
3415
Новосибирск
Xey в сообщении #913691 писал(а):
Про яйцо забыли.
Видимо это развертка циллиндра, пересекающего конус?

Про яйцо я забыл, отказавшись от него несколькими постами ранее, когда признал, что в сечении конуса получается эллипс. Развертка цилиндра при сечении его плоскостью под углом - синусоида.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение29.09.2014, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nnosipov в сообщении #913702 писал(а):
По-моему, нельзя. Иначе проекция этой кривой на некоторую плоскость была бы кривой 2-го порядка. Но когда мы из двух квадратичных уравнений 2-го порядка исключим одну из координат, относительно двух оставшихся координат получится, вообще говоря, что-то 4-й (кажется) степени.

Логично. Значит, они, вообще говоря, 4-й степени. Интересное удвоение.

-- 29.09.2014 19:45:39 --

Не, стоп. Квантор не тот. Из того, что вообще говоря, получается 4-я степень, не следует, что не существует такой плоскости, в проекции на которую получится 2-я степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение29.09.2014, 18:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Munin в сообщении #913712 писал(а):
Не, стоп. Квантор не тот. Из того, что вообще говоря, получается 4-я степень, не следует, что не существует такой плоскости, в проекции на которую получится 2-я степень.
Проекция на одну плоскость --- 4-я степень, а на другую плоскость --- 2-я степень. Разве такое бывает? Хотя почему бы и нет. Ведь кривая, которую проектируем, не плоская. Ну, тогда не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение29.09.2014, 19:29 


10/09/14
171
Меня удивляет другое - почему существует элементарная формула объема косо срезанного конуса, а тройной интеграл, который должен был бы дать эту формулу не берется в элементарных функциях.По крайней мере, его не берут матпакеты?

-- 29.09.2014, 20:37 --

Portnov в сообщении #913666 писал(а):
А у меня вот такая формула получилась для верхнего куска:
$$\frac13\pi h^3\frac{\cos^2\alpha\sin^2\beta}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$$
где $h$ — часть высоты большого конуса, отрезанная секущей плоскостью; $\alpha$ — угол между основанием большого конуса и секущей плоскостью; $2\beta$ — угол при вершине конуса. При $\alpha=0$ логично получается $\frac13\pi h (h\tg\beta)^2$.

Portnov, не могли бы вы нарисовать картинку и показать $h$.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение29.09.2014, 20:26 
Аватара пользователя


22/12/10
264
redicka
Как-то так: http://gallery.home.iportnov.ru/image/Misc/Cone.png

-- Пн сен 29, 2014 22:32:26 --

redicka
Я мог ошибиться, кстати, проверьте :)

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение29.09.2014, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
redicka в сообщении #913727 писал(а):
Меня удивляет другое - почему существует элементарная формула объема косо срезанного конуса, а тройной интеграл, который должен был бы дать эту формулу не берется в элементарных функциях.По крайней мере, его не берут матпакеты?

Я всё ещё уверен, что это из-за кривых рук.

В принципе, такая ситуация могла бы быть и взаправду. Ведь тройной интеграл матпакеты пытаются считать как повторный. Значит, если на промежуточном этапе получится что-то неберущееся, то они и не справятся. Но с конусом такого быть не должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение29.09.2014, 21:44 


10/09/14
171
Portnov , проверил вашу формулу - не совпадает с значениями полученными по формуле arseniiv`а и моей.
Проверил также с помощью тройного интеграла (численно).

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение30.09.2014, 00:27 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #913767 писал(а):
Я всё ещё уверен, что это из-за кривых рук.
Вполне. Я-то по совету считал площади сегментов (одинарный интеграл и тот не вычислился, ну а до того не взялся тройной). Если бы сразу взять не декартовы координаты, скосив одну из осей, получилось бы интегрирование площадей эллипсов, и оно, скорее всего, завершилось бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение30.09.2014, 09:38 


14/01/11
2916
Portnov в сообщении #913666 писал(а):
А у меня вот такая формула получилась для верхнего куска:
$$\frac13\pi h^3\frac{\cos^2\alpha\sin^2\beta}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$$

У меня не такая красивая формула получилась:
$$V=\frac13\pi h^3\frac{ \cos^3 \alpha \sin^2\beta \cos \beta}{\left[ \cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta)\right] ^\frac32}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение30.09.2014, 12:49 
Заслуженный участник


07/07/09
5408
Еще немного о форме сечения.
То, что с самого первого взгляда сечение конуса плоскостью видится яйцеобразным, понятно.
Заинтересовала яйцеобразность.

Понравилось, как она описана здесь
http://www.biometrica.tomsk.ru/planirus.htm
Тут приведена такая трансформация окружности
Изображение


Такое яйцеобразное сечение должно бы получится при пересечении циллиндра (и конуса?) половинкой параболического циллиндра, с последующим разворачиванием параболы в плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение30.09.2014, 16:18 
Аватара пользователя


22/12/10
264
Sender
Вероятно, ваша правильнее. Я, кажется, малую полуось эллипса не ту взял.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение30.09.2014, 19:42 


10/09/14
171
Sender, если у вас альфа, бета и $h$ таткие же как на картинке у Portnov`а, то ваша формула также не дает верный результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение01.10.2014, 01:35 


01/11/09
35
redicka в сообщении #913727 писал(а):
Меня удивляет другое - почему существует элементарная формула объема косо срезанного конуса, а тройной интеграл, который должен был бы дать эту формулу не берется в элементарных функциях.По крайней мере, его не берут матпакеты?

А если наоборот: объем выражается в элементарных функциях, то можно ли найти тот объем без интеграла? Вопрос наверное относится к категории: какие фигуры можно построить с помощью циркуля и линейки (с алгебраической точки зрения).

Объем шара с помощью интеграла через декартовы координаты труднее найти чем способом Архимеда, но здесь наоборот:

Изображение

Дан шар радиусом $R$, сквозное квадратное отверстие стороной $2a$, найти объем $V$ (зеленое) и поверхность $S$ (темно-зеленое с одной стороны на шаре).

$\[V = \frac{8}{3}{a^2}\sqrt {{R^2} - 2{a^2}}  + \left( {8a \cdot {R^2} - \frac{8}{3}{a^3}} \right) \cdot \arcsin \left( {\frac{a}{{\sqrt {{R^2} - {a^2}} }}} \right) - \frac{8}{3}{R^3} \cdot \arcsin \left( {\frac{{{a^2}}}{{{R^2} - {a^2}}}} \right)\]$,
$\[S = 8a \cdot R \cdot \arcsin \left( {\frac{a}{{\sqrt {{R^2} - {a^2}} }}} \right) - 4{R^2} \cdot \arcsin \left( {\frac{{{a^2}}}{{{R^2} - {a^2}}}} \right)\]$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group