2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение17.09.2014, 17:10 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
joke-100 в сообщении #908799 писал(а):
Поясняю специально для слоу
 !  joke-100, замечание за личные выпады.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение17.09.2014, 21:38 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
Aritaborian в сообщении #908815 писал(а):
Поясняю специально для слоу
 !  Aritaborian, аналогичное замечание. Для симметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение17.09.2014, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Есть довольно интересная книга Н. А. Вавилова "не совсем наивная теория множеств"; черновик есть в сети, сама книга вроде как не издана.

Там объясняется, что у самого Кантора никаких парадоксов не было (в частности, указанный объект по его определению множеством не был), а их позднее придумали горе-переводчики с немецкого. Рекомендую.

-- Ср, 17 сен 2014 13:56:01 --

Nemiroff в сообщении #908837 писал(а):
Ага: не каждая явно определяемая совокупность элементов является множеством. Обалденно очевидно.


Это не является явно определяемой совокупностью. Если бы вдруг даже являлось, то все равно бы не являлось.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 00:46 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
g______d в сообщении #909011 писал(а):
Это не является явно определяемой совокупностью. Если бы вдруг даже являлось, то все равно бы не являлось.
Загадочно. Непонятно. Много повторений "являться" в разных формах.
Короче так, вот тут формулка $\{x : P(x)\}$, вот "пэ от икс" мы можем "явно определить", а формулка всё равно даст не множество, а какую-то гадость. Собс-но, если это кому с рождения очевидно, так оно пусть того туда так и будет. А нет, так и нет, и что уж тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 01:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Да, я не прав. Совокупностью является, множеством нет.

Но утверждается, тем не менее, что Кантор не утверждал, что любая совокупность $\{x\colon P(x)\}$ является множеством. Вавилов пишет, что эту аксиому ввел Фреге, а Рассел понял, что она приводит к противоречию.

Сам же Кантор все эти парадоксы знал и множества от совокупностей отличал.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 09:54 


07/08/14
4231
а несколько совокупностей не являющихся множествами могут быть множеством?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 10:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
upgrade в сообщении #909078 писал(а):
а несколько совокупностей не являющихся множествами могут быть множеством?


Обычно элементы множеств сами являются множествами.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Эти "совокупности" в современной теории множеств называются классами. В теории GB, где основным объектом являются классы, множества определяются как классы, которые являются элементами каких-нибудь классов. Поэтому класс, не являющийся множеством, по определению не является элементом другого класса. В теории ZFC, где основным объектом являются множества, классов вообще нет, но возможно консервативное расширение языка конструкцией $\{x:\Phi(x)\}$, которая рассматривается как определение класса. Естественно, здесь тоже класс, не являющийся множеством, не может быть элементом какого-либо класса просто по определению: значением переменной в ZFC может быть только множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 10:09 


07/08/14
4231
вообще до прочтения этой темы я был полностью уверен, что множество - это все что угодно, чему можно присвоить какое-нибудь название.
например присвоили термин "совокупность" чему-то, оно стало автоматически множеством.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 13:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(upgrade)

upgrade в сообщении #909081 писал(а):
вообще до прочтения этой темы я был полностью уверен, что множество - это все что угодно, чему можно присвоить какое-нибудь название.
например присвоили термин "совокупность" чему-то, оно стало автоматически множеством.
да-да, когда-то и у меня был такой разрыв шаблона :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266
Попробую ответить на исходный вопрос со своей точки зрения. Прошу прощения, если кому-то покажется, что я "ломлюсь в открытые ворота". Вопрос и впрямь не очень сложен, но нередко и простые вещи осознаются не мгновенно.
Итак, в чём парадоксальность утверждения?
В том, что очень просто и, на первый взгляд, ясно описанная совокупность объектов не образует множество. Хотя основной способ задания множеств - это именно описание общих свойств его элементов.
В принципе есть два способа задать множество:
1. Перечислить все его элементы.
2. Указать общее свойство элементов множества (то, которое присуще им и только им).
Очевидно, первый способ принципиально годится лишь для конечных множеств, а практически - к тому же не слишком большого объёма. Для конечных множеств, содержащих большое число элементов, этот способ неэффективен. А для бесконечных множеств - вовсе непригоден.
Поэтому единственным универсальным способом задания любого множества является способ №2 (описательный).
Но тогда естественно ожидать, что всякое чётко сформулированное (по крайней мере, с точки зрения нашей интуиции) свойство для некоторого класса объектов выделяет из этого класса некоторое множество.
Оказывается, однако, что это совсем не так.
Свойство "не быть собственным элементом" формулируется весьма просто и на интуитивном уровне совершенно ясно. Естественно ожидать, что совокупность множеств, не являющихся собственными элементами, - тоже множество (коль скоро эта совокупность столь просто и ясно описана). Но именно это предположение и ведёт к противоречию, известному, как парадокс Рассела.
По-моему, так.
Ещё раз прошу прощения, если сказанное мною чересчур банально.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 23:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihr в сообщении #909305 писал(а):
В принципе есть два способа задать множество:
1. Перечислить все его элементы.
2. Указать общее свойство элементов множества (то, которое присуще им и только им).
Если поразмышлять ещё, становится видно, что 1 входит в 2 — а именно, $x\in\{a_1,\ldots,a_n\}\Leftrightarrow x=a_1\vee\ldots\vee x=a_n$, т. е. у каждого множества, заданного перечислением элементов, всегда есть довольно понятное «общее свойство» элементов. Поэтому 2 — не только единственный универсальный способ, но и вообще единственный способ, если избавляться от лишних сущностей. В аксиоматических теориях множеств обычно записи вида $\{\ldots\}$ вводятся определениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Mihr в сообщении #909305 писал(а):
2. Указать общее свойство элементов множества (то, которое присуще им и только им).


Это какая-то философия. В математике единственный формальный способ задания множеств — это получить его из множества натуральных чисел с помощью действий, разрешенных $\mathbf{ZFC}$. Существование натуральных чисел — одна из аксиом $\mathbf{ZFC}$, поэтому даже фраза "из множества натуральных чисел", строго говоря, лишняя.

На практике, правда, "указание общего свойства" часто работает; но сначала надо построить достаточно большое "универсальное" множество, из которого потом элементы можно выделять по свойству (свойство — это предикат; возможность выделения по предикату — разрешенная операция тоже по одной из аксиом).

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 23:41 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
arseniiv в сообщении #909322 писал(а):
всегда есть довольно понятное «общее свойство» элементов.
Простите, не понял. Пусть $A=\{1, \sqrt 2, e^\pi\}$. Что общего у элементов этого множества, кроме того, что все они — действительные числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?
Сообщение18.09.2014, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Aritaborian в сообщении #909325 писал(а):
Что общего у элементов этого множества, кроме того, что все они — действительные числа?


То, что элемент этого множества является либо $1$, либо $\sqrt{2}$, либо $e^{\pi}$. Такое вот свойство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 132 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group