2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:12 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Есть такая задачка: Разложить в ряд Маклорена функцию $$f(x) = \frac{3x-\sin(3x)}{x^2}$$ и найти интервал сходимости ряда к $f(x)$.

Переписываю функцию в виде $$f(x) = \frac{3}{x} - \frac{\sin(3x)}{x^2}$$

Вторую дробь понимаю как раскладывать, а вот с первой, которая $\frac{3}{x}$, что делать -- непонятно. Подскажите, пожалуйста, как тут быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Ну прямо такую функцию - нельзя. Но по непрерывности если ее доопределить, то можно.
Первое слагаемое уйдет при разложении, не надо разбивать на сумму

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:14 


26/06/13
78
Ну уж если мы раскладываем в ряд Маклорена, то в окрестности какой точки раскладываем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Roxkisabsver
Ну уж если в Маклорена, то понятно в окрестности какой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Limit79 в сообщении #908189 писал(а):
Разложить в ряд Маклорена функцию

Может в ряд Лорана? (Звучание схоже).

(Оффтоп)

Не заметил, что в числителе члены сокращаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:22 


26/06/13
78
SpBTimes в сообщении #908196 писал(а):
Roxkisabsver
Ну уж если в Маклорена, то понятно в окрестности какой.

Ах да, в вечерней запарке перепутал одно с другим :-( .

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:31 


29/08/11
1759
SpBTimes в сообщении #908191 писал(а):
Первое слагаемое уйдет при разложении, не надо разбивать на сумму

То есть так:
$$\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot x^{2n+1}$$

тогда

$$\sin(3x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1}$$

и

$$3x-\sin(3x) = 3x-\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1} = 3x- 3x -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1}$$

и

$$\frac{3x-\sin(3x)}{x^2} = \frac{1}{x^2} \cdot  \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1} = 3 \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}  \cdot 9^n}{(2n+1)!} \cdot x^{2n-1}$$

?

-- 15.09.2014, 22:32 --

Roxkisabsver в сообщении #908193 писал(а):
Ну уж если мы раскладываем в ряд Маклорена, то в окрестности какой точки раскладываем?

$x_{0}=0$

-- 15.09.2014, 22:33 --

мат-ламер в сообщении #908198 писал(а):
Может в ряд Лорана? (Звучание схоже).

Нет, в ряд Маклорена...

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Limit79
Да, так. Только я еще раз говорю, что функцию надо модифицировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:44 


29/08/11
1759
SpBTimes
Спасибо. А как можно грамотно аргументировать, что функцию надо доопределить в нуле?

$$f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{3x-\sin(3x)}{x^2}, \text{при } x \neq 0 
\\ 0, \text{при } x=0 \\

\end{matrix}\right.$$

И так ли доопределить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Ну да. Так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Limit79
А что там аргументировать, если у вас изначально функция была определена с иксом в знаменателе?

TAK!

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:49 


29/08/11
1759
SpBTimes
А почему нужно доопределять? Потому что исходная функция не определена в нуле, а надо разложить как раз в ряд Маклорена?

Иначе говоря: так как функция не определена в нуле, то ее нельзя разложить в ряд Маклорена (но можно, если доопределить)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Limit79
Конечно нельзя, ведь первый член в разложении у вас $f(0)$. Да и дифференцируемость требует, чтобы ф-я была определена в точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:55 


29/08/11
1759
SpBTimes
А значение, которым доопределяем, находить из $\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x-\sin(3x)}{x^2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение функции в ряд
Сообщение15.09.2014, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Limit79
Ага

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group