2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ТАУ: Расчет передаточной функции для колебательного контура
Сообщение15.09.2014, 13:36 


21/06/13
11
Добрый день,

Разбираю задачу по нахождению передаточной функции в электрической цепи. Если я правильно понял, то на схеме представлен колебательный контур

Изображение

и передаточная функция для него, в соответствии с формулой для колебательного звеена в общем виде будет такой:

$$ W(s) = \frac{k}{\tau s^2 + 2 \tau \varepsilon s + 1} $$

где $k = W(0)$ - коэффициент усиления или статический коэффициент передачи, $\tau = R C$ - постоянная времени и $\varepsilon = \frac{R}{2 L}$ - коэффициент затухания. Таким образом, применительно к данной схеме, формулы получат вид:

$$ R = R_1 + R_2 $$

$$ \varepsilon = \frac{R_1 + R_2}{2 L} $$

$$ \tau = (R_1 + R_2) C $$

и, собственно, сама передаточная функция

$$ W(s) = \frac{k}{(R_1 + R_2)^2 C^2 s^2 + 2 C \frac{(R_1 + R_2)^2}{2 L} s + 1 }
 = \frac{k}{ C_1 s (R_1 + R_2)^2 (C_1 s + \frac{1}{ L_1}) + 1 } $$

Таким образом я выразил передаточную функцию через параметры элементов схемы (емкость, индуктивность и общее сопротивление), верно? А как представить, что такое статический коэффициент передачи $k$? $k = W(0)$ - это передаточная функция схемы при единичном импульсном воздействии $\delta$ (функция Дирака)?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТАУ: Расчет передаточной функции для колебательного контура
Сообщение15.09.2014, 21:08 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
schmidt в сообщении #907975 писал(а):
Если я правильно понял, то на схеме представлен колебательный контур

По-моему, это ФНЧ (фильтр низкой частоты) второго порядка. Из того, что помню со школы. Сопротивление индуктивности и конденсаторов считать мнимым. Дальше посчитать по простейшим правилам сопротивление цепочки из четырёх последовательных элементов. Посчитать ток через него. Дальше подсчитать паление напряжения на R2 и С1. Дальше избавляемся от мнимых единиц, (т.е. продолжаем функцию с мнимой оси на комплексную плоскость). Получили передаточную функцию. Дальше применяем преобразование Фурье (прямое или обратное - не помню) и получаем реакцию на функцию Дирака (типа функции Грина). (А почему задачу поместили в математический раздел?).

 Профиль  
                  
 
 Re: ТАУ: Расчет передаточной функции для колебательного контура
Сообщение16.09.2014, 22:42 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3258
Бурашево
Помилуйте, ну кто ж так считает передаточную функцию? У вас же вагоны впереди паравоза: это Вы сначала должны найти передаточную функцию, а потом можете классифицировать звено.
На схеме у вас представлен Г-образный делитель напряжения, для которого $W(s)=\frac{z_2}{z_1+z_2}$, где $z_1(s)=R_1+sL$ и $z_2(s)=R_2+\frac{1}{sC}$ - операторные сопротивления цепочек $L-R_1$ и $R_2-C$ соответственно. Подставьте и посмотрите, что получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТАУ: Расчет передаточной функции для колебательного контура
Сообщение01.11.2014, 10:19 


21/06/13
11
Не могу сообразить сразу - начал с самого начала. Передаточная функция - это отношение изображений по Лапласу выходного сигнала ко входному. В качестве сигнала у нас выступает напряжение. Вооружившись сведениями из электротехники, получаю:

$$ U_{input} = U_L + U_{R_1} + U_{R_2} + U_C $$

$$ U_{output} = U_{R_2} + U_C $$

$$ U_L = L \frac{\partial i}{\partial t} $$

$$ U_C = \frac{1}{C} \int idt $$

$$ U_{input} = L \frac{\partial i}{\partial t} + iR_1 + iR_2 + \frac{1}{C} \int idt $$

$$ U_{output} = iR_2 + \frac{1}{C} \int idt $$

И далее полагаю

$$ W(p) = \frac{ \mathcal{L}\left\{U_{output} \right\} }{ \mathcal{L}\left\{U_{input} \right\} } $$

Верно? Только я никак не могу сообразить, как перейти к операторной форме. Если умножение на оператор $p$ дифференцирования равносильно операции дифференцирования, то можно провести замену

$$ L \frac{\partial i}{\partial t} = L p i $$

А что делать с интегралом $\frac{1}{C} \int idt$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТАУ: Расчет передаточной функции для колебательного контура
Сообщение01.11.2014, 13:00 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3258
Бурашево
schmidt в сообщении #925008 писал(а):
А что делать с интегралом
Делить изображение на $p$. (Предварительно определившись, что у вас таки будет $s$ или $p$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group