2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение14.09.2014, 09:13 


20/03/14
90
Пытаюсь взять интеграл, но попадаю в тупик:
$\int\sqrt{a^2-\sin^2(x)}dx$
Использую замену:
$a^2-\sin^2(x)=t^2;   x=\arcsin(\sqrt{a^2-t^2});   dx=-\frac{tdt}{\sqrt{(1-a^2+t^2)(a^2-t^2)}};$
$\int\sqrt{a^2-\sin^2(x)}dx=-\int \frac{t^2   dt}{\sqrt{(1-a^2+t^2)(a^2-t^2)}}$
Получилось ещё сложнее, чем было. Я выбрал неверный метод решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение14.09.2014, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А он, наверное, и не берётся в элементарных, кроме частного случая $a^2=1$. Что-то эллиптическое в нём проглядывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение14.09.2014, 11:05 


22/07/12
560
Скорее всего автор задачника имел ввиду:
$\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2(x)}dx$
Хотя это получается совсем уж простой интеграл. Но тот, который Вы привели выше явно не берущийся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение14.09.2014, 11:39 


20/03/14
90
main.c в сообщении #907569 писал(а):
Скорее всего автор задачника имел ввиду:
$\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2(x)}dx$
Хотя это получается совсем уж простой интеграл. Но тот, который Вы привели выше явно не берущийся.

$\cdots=-\int \frac{t^2   dt}{\sqrt{(1-a^2+t^2)(a^2-t^2)}}$ можно перевести в вид:

$\int{\sqrt{\frac{a^2-z^2}{1-z^2}}}dz$ , если сделать замену:   $a^2-t^2=z^2;   dt=-\frac{zdz}{\sqrt{a^2-z^2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение14.09.2014, 15:30 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
dinamo-3
Ваш интеграл в одно действие приводится к неполному эллиптическому 2-го рода $\[\int {\sqrt {{a^2} - {{\sin }^2}x} } dx = a\int {\sqrt {1 - \frac{1}{{{a^2}}}{{\sin }^2}x} } dx = aE(x,\frac{1}{a}) + C\]$. В элементарных, конечно, не берётся
А то что вы сделали - только запутывает ситуацию, хотя вы пришли просто к другой форме записи эллиптического интеграла 2-го рода

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение14.09.2014, 22:07 


20/03/14
90
Ms-dos4 в сообщении #907663 писал(а):
dinamo-3
Ваш интеграл в одно действие приводится к неполному эллиптическому 2-го рода $\[\int {\sqrt {{a^2} - {{\sin }^2}x} } dx = a\int {\sqrt {1 - \frac{1}{{{a^2}}}{{\sin }^2}x} } dx = aE(x,\frac{1}{a}) + C\]$. В элементарных, конечно, не берётся
А то что вы сделали - только запутывает ситуацию, хотя вы пришли просто к другой форме записи эллиптического интеграла 2-го рода

А что означает $aE(x,\frac{1}{a})$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение14.09.2014, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Что интеграл не берётся в элементарных функциях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение15.09.2014, 08:57 


20/03/14
90
Я немного почитал про элиптические интегралы и там сказано, что с помощью их можно находить длину синусоиды, но вот примеров никаких.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение15.09.2014, 09:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Можно, конечно. Пример привёл Ms-dos4 выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от тригонометрической функции
Сообщение19.09.2014, 19:12 


07/08/14
4231
при больших значениях $a$ ($a>10^5$) подинтегральное выражение слабо зависит от $\sin^2x$.

на малых ($a<10^{-5}$) подинтегральное выражение либо близко к нулю (когда $x<10^{-5}$) либо слабо зависит от $a$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group