2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 17:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Я вот тоже уже не понял, о чём вы теперь спрашиваете…

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 17:43 


23/12/07
1757
arseniiv
Грубо говоря, я пытаюсь понять, почему наше пространство называют трехмерным. Аргументы типа - из аксимоатики геометрии следует, что оно является трехмерным линейным не совсем подходят, потому что формально любое линейное пространство одной размерности я могу переделать в линейное пространство другой размерности, например, просто тупо используя биективность. Вопрос, что же все-таки такое при этом потеряется, что не позволяет считать такой способ приемлемым (что среди всех возможных структур выделяет именно структуры трехмерного линейного пространства)?
Как вариант я рассматриваю требование, чтобы такая биекция была непрерывной. В этом случае, действительно, тогда нельзя будет ввести структуру линейного пространства другой размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 17:49 


10/02/11
6786
_hum_ в сообщении #907368 писал(а):
Грубо говоря, я пытаюсь понять, почему наше пространство называют трехмерным.

считать, что наше пространство это $\mathbb{R}^3$ это просто математическая модель, которая хорошо работает в ряде физических теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 17:54 


23/12/07
1757
Oleg Zubelevich в сообщении #907369 писал(а):
Берем два линейных пространства $\mathbb{R}$ и $C[a,b]$. Между ними существует биекция, однако первое пространство одномерно, а второе континуально-мерно. Еще вопросы есть?

Да нет же! Меня интересует совсем другая сторона вопроса: в каких случаях (для какого класса отображений) биективность между множествами разной алгебраической размерности принципиально невозможна.
Например, я могу сказать, что в вашем приведенном случае невозможно, чтобы биекция обладала свойством непрерывности (в обе стороны), потому как при гомеоморфизме алгебраическая размерность сохраняется.
Вопрос: есть ли какие-то более общие свойства линейных пространств и отображений, которые позволяли бы делать подобные заключения (что если отображение биективно, и у него есть это свойство, то размерность должна сохраняться)?

-- Сб сен 13, 2014 18:55:30 --

Oleg Zubelevich в сообщении #907370 писал(а):
считать, что наше пространство это $\mathbb{R}^3$ это просто математическая модель, которая хорошо работает в ряде физических теорий.

Это не ответ. Точнее, ответ чистого математика :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Топологическая теория размерности:
П.С.Александров, Б.А.Пасынков. Введение в теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.

Вообще, топологическое понятие размерности вводилось так, чтобы для пространств $\mathbb R^n$ топологическая размерность совпадала с алгебраической. И действительно совпадает.

Поэтому не надо говорить, что размерность никак не связана с непрерывностью.

Подробности ищите в указанной книге.

Что касается алгебраически $n$-мерных пространств над полем действительных чисел, то здесь есть два замечательных факта:
1) для каждого $n$ существует только одно (с точностью до изоморфизма) алгебраически $n$-мерное линейное пространство над полем действительных чисел (доказывается в курсе линейной алгебры на первом курсе);
2) на этом пространстве существует только одна топология, совместимая с алгебраической структурой (о чём Вам уже писали), и основные топологические размерности для этой топологии равны $n$.

_hum_ в сообщении #907296 писал(а):
Меня интересует не "тогда", а "только тогда сохраняет".
_hum_ в сообщении #907371 писал(а):
Например, я могу сказать, что в вашем приведенном случае невозможно, чтобы биекция обладала свойством непрерывности (в обе стороны), потому как при гомеоморфизме алгебраическая размерность сохраняется.
Вопрос: есть ли какие-то более общие свойства линейных пространств и отображений, которые позволяли бы делать подобные заключения (что если отображение биективно, и у него есть это свойство, то размерность должна сохраняться)?
То есть, необходимое условие, когда биекция сохраняет размерность? Это безнадёжная задача. Никто Вам сколько-нибудь общее условие не сформулирует. Можно взять два совершенно произвольных пространства одинаковой мощности и одинаковой размерности и устроить между ними какую угодно биекцию. Что можно сказать о ней содержательного? Да ничего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 17:59 


10/02/11
6786
_hum_ в сообщении #907371 писал(а):
Это не ответ. Точнее, ответ чистого математика :)

боюсь, что другого ответа Вы на научном форуме не получите. На эзотерическом, может быть

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
_hum_ в сообщении #907368 писал(а):
Аргументы типа - из аксимоатики геометрии следует, что оно является трехмерным линейным не совсем подходят, потому что формально любое линейное пространство одной размерности я могу переделать в линейное пространство другой размерности, например, просто тупо используя биективность.
Нельзя переделать линейное пространство в пространство другой размерности, сохранив структуру линейного пространства. Можно переделать только множества их точек.
То есть как просто множества точек трехмерное пространство и одномерное равномощны, но как только мы задали структуру линейного пространства, эти структуры у трехмерного и одномерного пространств разные, их нельзя переделать друг в друга. Потому что у них разная размерность - в одномерном пространстве любые два вектора пропорциональны друг другу, а в трехмерном - нет.
Точно так же, если мы рассматриваем обычную топологию на прямой и в трехмерном пространстве, эти топологии нельзя перевести друг в друга взаимно однозначным и непрерывным в обе стороны отображением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 18:06 


23/12/07
1757
Xaositect, так а кто сказал, что структуру надо сохранять? Я же и пытаюсь понять, почему нельзя так делать. Ну, что из того, что то, что было в исходной структуре параллельно,в новой перестанет быть таковым? Зато вместо трех координат у меня станет одна.
Может, дело в том, что при разрывной биекции перестает работать геометрическая аксиома непрерывности, а значит, весь матанализ идет коту под хвост?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
_hum_ в сообщении #907378 писал(а):
Xaositect, так а кто сказал, что структуру надо сохранять?
Вы написали "линейное пространство". Линейное пространство - это множество со структурой. Если в какой-то задаче структура не важна, то ее можно не сохранять, и с точки зрения этой задачи $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^3$ отличаться не будут (если какая-то другая структура не будет нужна), но и называть их линейными пространствами в этом случае не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 18:16 


23/12/07
1757
Xaositect, линейная структура важна в каждом отдельном пространстве, но ее согласованность между ними не принципиальна. Я же говорил, смысл в том, что зачем мне "носить с собой" три координаты расположения клада - я просто все это закодирую одним числом (перейду из $R^3$ в $R$), а потом, когда понадобится все-таки клад откопать, вернусь обратно - восстановлю эти три числа и, пользуясь декартовой системой отсчета, найду клад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 18:19 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
_hum_ в сообщении #907378 писал(а):
Я же и пытаюсь понять, почему нельзя так делать. Ну, что из того, что то, что было в исходной структуре параллельно,в новой перестанет быть таковым? Зато вместо трех координат у меня станет одна.
Зато расстояния не получатся такие, какие вы намеряли. И это ну просто очевидно. (Разумеется, математика не запретит вам использовать неподходящую модель, потому что ей безразлично. Вы не найдёте математического обоснования, почему трёхмерное пространство подходит для описания чего-то там в мире (а для чего-то другого лучше двумерное подходит, или четырёхмерное, или восьми-).)

_hum_ в сообщении #907378 писал(а):
а значит, весь матанализ идет коту под хвост?
Да дался вам этот матанализ. Это всего лишь приятное дополнение.

Аргументы начинают повторяться (если взять три темы, а не только эту) во второй-третий раз. Такое ощущение, что вы ветвите темы в надежде получить в ответ что-нибудь новое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
_hum_ в сообщении #907385 писал(а):
Я же говорил, смысл в том, что зачем мне "носить с собой" три координаты расположения клада - я просто все это закодирую одним числом (перейду из $R^3$ в $R$), а потом, когда понадобится все-таки клад откопать, вернусь обратно - восстановлю эти три числа и, пользуясь декартовой системой отсчета, найду клад.
Ну и получится у Вас то же самое $\mathbb{R}^3$, только неудобно записанное.

Давайте рассмотрим три линейных пространства:
1. Множество векторов - $\mathbb{R}$, операции сложения и умножения на скаляр - обычное сложение и умножение действительных чисел.
2. Множество векторов - $\mathbb{R}^3$, операции сложения и умножения на скаляр - сложение и умножение векторов ($(x_1,x_2,x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$, $\lambda (x_1, x_2, x_3) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3)$)
3. Множество векторов - $\mathbb{R}$, операции сложения и умножения заданы с помощью распаковки чисел в векторы, операций с векторами, и упаковки вектора обратно: $x + y = T_{3\to1}(T_{1\to3}(x) + T_{1\to3}(y))$, $\lambda x = T_{3\to1}(\lambda T_{1\to3}(x))$, где $T_{1\to3}$, $T_{3\to1}$ - биекция между $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^3$.

Так вот, третье пространство трехмерно, несмотря на то, что его точка задается одним числом. Потому что структура у второго и третьего пространств одна и та же, просто обозначения точек разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 18:31 


23/12/07
1757
arseniiv в сообщении #907388 писал(а):
Зато расстояния не получатся такие, какие вы намеряли. И это ну просто очевидно.

Кто мешает ввести на $R$ метрику, индуцированную из $R^3$?

-- Сб сен 13, 2014 19:40:58 --

Xaositect, в таком варианте, как Вы предложили, конечно, получится $R$ с индуцированной из $R^3$ структурой трехмерного пространства. Но для похода за кладом мне не нужно это индуцирование :) Хотя, конечно, Вы правы в том, что если я все равно возвращаюсь в $R^3$, чтобы воспользоваться декартовой системой (то есть, линейной структурой), то фактически я от нее и не отказывался.

Я так понимаю, можно говорить о том, что только трехмерная структура естественно согласована с геометрией нашего пространства (с аксиоматикой геометрии) в том смысле, что только в ней абстрактные объекты напрямую соответствуют "осязаемым" в реальности, как то, прямой, плоскости, отрезку и т.п., без чего ориентирование в реальном физическом пространстве невозможно. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 19:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это зависит от того, что вы понимаете под «напрямую». Одному, может, будет напрямую, а другому объяснять полгода.

-- Сб сен 13, 2014 22:10:30 --

_hum_ в сообщении #907393 писал(а):
без чего ориентирование в реальном физическом пространстве невозможно
Ну возможно же. Вот, между прочим, даже евклидова плоскость не ориентирована (ориентацию надо вводить отдельно), а поверхность Земли (это уже погрузились в модель) ориентирована, и никаких координат не нужно, чтобы отличить верх и низ. Далее, мы и многое вокруг нас асимметричны, потому при наличии верха-низа начинаем отличать и лево-право. Измерять расстояния и углы, которые неоднократно упоминал Someone, мы тоже умеем. Задолго до изобретения координат люди пользовались только этими вещами и, о ужас, находили свой дом после довольно далёких путешествий.

-- Сб сен 13, 2014 22:11:56 --

И всё это без точек, прямых и координат. С довольно простой моделью. А если модель уточнять, то надо идти дальше трёхмерного пространства и даже дальше четырёхмерного пространства-времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантность размерности пространства
Сообщение13.09.2014, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
_hum_ в сообщении #907368 писал(а):
Грубо говоря, я пытаюсь понять, почему наше пространство называют трехмерным.

Грубо говоря, потому что сначала кирпичи кладут один за другим в ряд, потом эти ряды один за другим, и наконец, в высоту.

(Oleg Zubelevich в этом легко узнает алгебраическую размерность.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 76 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group