2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как доказать иррациональность?
Сообщение11.09.2014, 22:51 


11/09/14
8
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с доказательством того, что для любых рациональных $p,q,r$ (хотя бы одно из них не равно 0)
$p\sqrt2+q\sqrt3+r\sqrt{\frac23}$ является иррациональным.
Я пытался возводить в квадрат, но ничего не получилось. Дайте, пожалуйста, подсказку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение11.09.2014, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Если бы тут было только два первых слагаемых, что тогда - знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение11.09.2014, 23:46 


11/09/14
8
Не знаю, знаю ли.
Пусть это выражение - рациональное, тогда
$p\sqrt2+q\sqrt3 = \frac mn$
где m - целое, n - натуральное.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$2p^2+2pq\sqrt6+3q^2 = \frac {m^2}{n^2}$
$2pq\sqrt6 = \frac {m^2}{n^2} - 2p^2 - 3q^2$
Так как произведение иррационального числа на рациональное(не равно 0) - иррациональное, то левая часть иррациональная.
Так как разность рациональных чисел - число рациональное, то правая часть - рациональная.
Следовательно, возникает противоречие (иррациональное равно рациональному), значит $p\sqrt2+q\sqrt3$ - иррациональное.

Частный случай, если p или q равно 0, то левая часть равна нулю. Так как правая часть - сумма квадратов, то она больше или равна 0. А так как одно из чисел(p или q) - не равно 0, то правая часть больше 0. Значит левая часть меньше правой. Такого быть не может => $p\sqrt2+q\sqrt3$ - иррациональное.

Или так нельзя доказывать? Есть ли способ лучше/проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение11.09.2014, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Типа того. Ну так вот, здесь придётся возводить в квадрат несколько раз и как-то комбинировать полученное, чтобы вышло примерно такое же противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение11.09.2014, 23:55 


11/09/14
8
У меня частный случай неверно доказан

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение11.09.2014, 23:58 


10/09/14
82
А что? Произведение иррационального числа на рациональное может дать число рациональное? :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 00:01 


11/09/14
8
Надо:
Пусть нулю равно $p$.
Тогда:
$0 = \frac{m^2}{n^2} - 3q^2$
$m^2 = 3q^2n^2$
Слева четное количество троек, а справа нечетное => противоречие => Предположение не верно.
Аналогично, если $q = 0$

-- 12.09.2014, 00:05 --

redicka
$0*\sqrt3$

-- 12.09.2014, 00:06 --

Неверно то, что я сказал, что справа - сумма квадратов, когда там разность. (Если вы об этом)

-- 12.09.2014, 00:29 --

Не получается с тремя. :-( Дважды возвел в квадрат -> вернулся к тому, с чего начинал!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 06:51 
Заслуженный участник


16/02/13
2617
Владивосток
Перенесите один из членов суммы на другую сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 07:41 


13/08/14
349
В данном случае задача решается, как указал iifat. Надо сумму приравнять к рациональному числу, одну иррациональность перенести в другую часть равенства, а затем последовательным возведением в квадрат прийти к одной иррациональности, поскольку на каждом шаге количество иррациональностей уменьшается.

Вот другая ситуация. Как быть, если количество иррациональностей четыре? В данном случае указанный метод не действует, поскольку на каждом шаге количество иррациональностей НЕ уменьшается. Например, доказать иррациональность
$\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5+\sqrt7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 09:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Здесь надо возводить в квадрат ещё больше раз. Когда-то новые корни перестанут появляться. Потом комбинировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 09:59 
Заслуженный участник


14/01/11
1041
Например, $$\sqrt{2}=-\frac{1037}{317030400}x^{15}+\frac{627}{1409024} x^{13}-\frac{6720901}{317030400} x^{11}+\frac{5894795}{12681216} x^9-\frac{1572360191}{317030400} x^7+\frac{1547095997}{63406080} x^5-$$ $$-\frac{4763001509}{105676800} x^3+\frac{1000302037}{63406080} x,$$
где $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 10:16 
Заморожен


20/12/10
5623
Если покомбинировать, то можно обойтись без многочленов 15-й степени с жуткими коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 12:10 


11/09/14
8
По поводу трех слагаемых.
После нескольких действий у меня получилось:
$8(\frac{\sqrt3}3\frac{mr}n+\sqrt3pq)^2 = (\frac{m^2}{n^2} + \frac23r^2+2p^2-3q^2)^2$

Можно ли утверждать, что в левой части нечетное двоек, а в правой - четное? И на этом утверждать, что предположение было неверным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 12:21 
Заслуженный участник


11/05/08
30866
nokados в сообщении #906923 писал(а):
Можно ли утверждать, что в левой части нечетное двоек, а в правой - четное?

Нужно ли это утверждать? Лучше верните этот квадрат обратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 12:37 


11/09/14
8
И тогда
$8(\frac13\frac{m^2r^2}{n^2}+\frac{2pqmr}{n} + 3p^2q^2) = (\frac{m^2}{n^2}+\frac23r^2-2p^2-3q^2)^2$
И что с этим можем сделать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group