2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Язык кванторов
Сообщение09.09.2014, 20:15 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, решил разобраться с языком кванторов на уровне, необходимом для записи школьных теорем и решения школьных задач со «звёздочкой» и без, но так чтобы на первом курсе не пришлось переучиваться. Во-первых, прошу порекомендовать литературу-концентрат (мало букв, много математики) из серии «Кванторы и мат. логика для дебилов (школьников)». Во-вторых, уже есть некоторые вопросы, которые я задам в следующем сообщении. Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.09.2014, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12405
Москва
Прочтите несколько первых страниц, например, из учебника Зорича "Математический анализ", этого хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.09.2014, 20:36 
Аватара пользователя


20/06/14
236
1. Чем можно заменить слово «если»? Во многих формулировках, которые я встречал слово «если» используется на равных со «значками», что режет мне глаза.
Пример: «Если вектор $\vec c$ можно разложить по векторам $\vec a$ и $\vec b$, то все три вектора компланарны.»
Пример: $\vec b = k \cdot \vec a \iff \begin{cases}|\vec b| = |k| \cdot | \vec a| \\ \vec b \uparrow \uparrow \vec a, \text{ если } k \geqslant 0 \\ \vec b \uparrow \downarrow \vec a, \text{ если } k < 0 \end{cases}$
1.1. Чем лучше заменить «то»? «$\iff$» или «$:$»
2. Как через кванторы определить понятие компланарности?
3. Корректна ли эта запись?
$\vec a \{x_1, y_1, z_1\} + \vec b \{x_2, y_2, z_2\} = (\vec a + \vec b) \{x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\}$

-- 09.09.2014, 21:41 --

Brukvalub, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.09.2014, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60290
Связка "если $A,$ то $B$" записывается $A\Rightarrow B.$ (Бывают ещё варианты $A\to B$ и $A\mathrel{\mathrel{|}\joinrel\mathrel{-}}B,$ со сходным смыслом, но нюансами значений; пока они вам не встретились, можете про них не думать.)

-- 09.09.2014 22:20:14 --

Компланарность: пусть мы оговорили, что $\mathbb{P}$ - множество плоскостей (в векторном пространстве). Тогда "$\vec{\vphantom{b}a},\vec{b},\vec{\vphantom{b}c}$ компланарны" - $\exists p\in\mathbb{P}\quad(\vec{\vphantom{b}a}\in p\wedge\vec{b}\in p\wedge\vec{\vphantom{b}c}\in p).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.09.2014, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
5395
Qazed в сообщении #906000 писал(а):
3. Корректна ли эта запись?
$\vec a \{x_1, y_1, z_1\} + \vec b \{x_2, y_2, z_2\} = (\vec a + \vec b) \{x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\}$
На каком языке и об чем эта запись? Если о покомпонентном сложении векторов, то я такое в первый раз вижу. Соответственно о корректности записи даже не могу судить. Может, другие участники прояснят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18203
Уфа
Qazed в сообщении #906000 писал(а):
3. Корректна ли эта запись?
$\vec a \{x_1, y_1, z_1\} + \vec b \{x_2, y_2, z_2\} = (\vec a + \vec b) \{x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\}$
Она понятна и может быть по договорённости (а только так и бывает) корректной, но уж очень неуклюжа, потому что школьное $A(x,y)$ или $\vec a\{x,y\}$ вполне записывается как $A = (x,y)$ и $\vec a = (x,y)$ (обычно круглые скобки показывают упорядоченную последовательность чего-то, а фигурные — множество, так что неупорядоченную, и, по-моему, для записи координат используются «наверху» реже). Тут, конечно, целых две вольности: $(x,y)$ обозначают и точку с данными координатами, и вектор с данными координатами; координаты всё-таки зависят от системы координат. В математических текстах совсем без вольностей никак (иначе формулы станут чрезмерно громоздкими), потому опытный глаз сразу замечает контекст — чтобы формула $\vec a + \vec b = (1,2)$ была корректной, надо, чтобы последние скобки обозначали вектор; а если рассматриваются несколько систем координат, обычно скобки не используются, и конфликта обозначений не получается. Грамотный математический текст подразумевает, что в нём везде смысл совпадающих обозначений ясен из контекста, и обычно у более-менее вхожего в математику человека все манипуляции пониманием обозначений идут автоматически, непроизвольно, и, в принципе, усваиваются без явного проговаривания того, что я написал. :-)

Так вот, плюс же обозначений координат через равно — то, что все точки не переназываешь, а записи $A(x,y)$ требуют каждой точке, у которой интересны координаты, дать имя, и это может путаться под ногами. (Минусы, правда, не отстают — обычно имена несут с собой кусочки контекста, и чем их меньше, тем меньше вольностей в других обозначениях можно себе позволить. Но обычно это незаметно.)

Итак, в вашем случае я бы снёс буковки напрочь. Остальное на месте. Плюс за скобками обозначает сложение векторов, плюс внутри — сложение чисел, привет контексту.

-- Ср сен 10, 2014 03:33:59 --

А, и ещё. Есть записи, обозначающие целое высказывание, а есть — обозначающие какое-то там число, точку, вектор, семиугольник и т. п. (в математической логике это зовётся соответственно формулами и термами, хотя в бытовом употреблении формулы часто обозначают всё подряд :-) (и это нормально)), так вот ваши школьные $A(1,2,3)$ — как раз формулы («точка A имеет координаты 1, 2, 3»), так что их, строго говоря, низзя засовывать в сумму или, например, под корень. Но есть ещё одна вольность, когда формулу ставят на место терма в другую формулу, подразумевая под первой какой-то её кусок — который именно, видимо, должно быть ясно. Вот тут это точка. Но это уже не сильно приветствуется, и за дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 08:17 
Заслуженный участник


11/05/08
30508
arseniiv в сообщении #906073 писал(а):
обычно круглые скобки показывают упорядоченную последовательность чего-то, а фигурные — множество, так что неупорядоченную, и, по-моему, для записи координат используются «наверху» реже

Это опять же школьная бяда: в школе зачем-то принято использовать для векторов именно фигурные скобки, хоть это и неприлично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60290
В некоторых приложениях принято использовать разные типы скобок для точек, векторов, плоскостей. Например, в кристаллографии. Хотя к школьной математике это относится чуть менее, чем никак.

Кстати, в школе это принято не везде. В учебниках разнобой. Из пяти учебников в двух - одна система, в двух - другая, в одном - третья. В ЕГЭ - четвёртая, тоже без фигурных скобок :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 13:12 
Аватара пользователя


14/10/13
278
Цитата:
Это опять же школьная бяда: в школе зачем-то принято использовать для векторов именно фигурные скобки, хоть это и неприлично.
и в иных вузах так-то

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 15:15 
Аватара пользователя


11/06/12
6405
Минск

(Оффтоп)

В вузах? Фигурные скобки для записи векторов? Дайте мне это развидеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 17:59 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Спасибо, ещё вопрос:
При решении уравнения
$\dfrac{|\sin x |}{\sin x} = 1 - \cos 2x$
Получаю следующий «кусочек»:
$\begin{cases} x \in (-\infty;0) \\ 2 \sin^2 x = -1 \end{cases}$
Как сделать логический переход к $x \in \varnothing$? Или как написать в кванторах, что решений нет?

-- 10.09.2014, 19:14 --

Может $x \in C$, в значении «нет действительных решений»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
5395
Qazed в сообщении #906312 писал(а):
Или как написать в кванторах, что решений нет?

$$\forall x\in \mathbb R: \quad \dfrac{|\sin x |}{\sin x} \ne 1 - \cos 2x$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 18:30 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Идея понятна, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
5395
Qazed в сообщении #906312 писал(а):
Может $x \in C$, в значении «нет действительных решений»?
Действительные числа являются подмножеством комплексных. В свете этого факта, ваше предложение подобно:

Мопед $\in$ средство передвижения, в значении "не автомобиль."

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение10.09.2014, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60290
Комплексные числа, не являющиеся при этом одновременно действительными числами, можно записать при помощи вычитания множеств: $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group