2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение29.10.2014, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20017
Уфа
Вы используете $\sqsupset$ для замены слова «предположим»? Не стоит. Это не распространено, в частности потому что не несёт никакой смысловой нагрузки, а вид загромождает.

Потом надо что-то сделать с отношением делимости — вложить в \mathrel{ } для расстановки пробелов и, возможно, отцентрировать по вертикали. Глаз ломает. :-)

«Докажите $a\mathrel{\vdots}c \vee b\mathrel{\vdots}c \Rightarrow a \cdot b \mathrel{\vdots}c$
[Посмотрите, как общепринятый приоритет операций сокращает количество скобок: у $\Rightarrow$ он ниже, чем у $\vee$, у умножения он всяко выше, чем у логических связок, потому что может соединять только термы.]

В доказательстве лучше использовать слова, потому что на полпути между понятным и формальным стоять как-то непрактично — и не поймут, и недостаточно строго.

-- Чт окт 30, 2014 00:03:20 --

P. S. Нет, эти точки по-любому надо центрировать. Ужасно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение29.10.2014, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63024
$a\mathrel{\vdots}b$

$a\overset{\cdot}{:}b$

$a\mathrel{\mathaccent \cdot :}b$

$a\underset{\cdot}{\overset{\cdot}{\cdot}}b$

$a\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}b$ <- я за этот вариант. Предложите его включить в FAQ по математическим символам.

-- 29.10.2014 23:01:36 --

Ну и в конце концов, всегда можно записать вместо $a\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}b$ наоборот $b\mid a.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение30.10.2014, 16:13 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Всем спасибо за ответы

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 17:21 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, в продолжение темы вопрос:
Как записать основную теорему арифметики?
$\forall n \in \mathbb N \quad \exists p_i \in \mathbb P \quad \exists k_i \in \mathbb N_0 : n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_q^{k_q}$
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20017
Уфа
Давайте запишем её сначала словами, потом доведём формулировку до ясности, и только тогда сделаем формулу.

В текущей несколько проблем. Например, что такое $p_i$? Это может быть как и неудачным обозначением последовательности из простых чисел, но тогда она никак не ${}\in\mathbb P$, так и обозначением элемента этой последовательности, но тогда что такое $i$? То же самое с $k_i$, ну и ещё $q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 17:53 
Аватара пользователя


20/06/14
236
arseniiv в сообщении #925106 писал(а):
Давайте запишем её сначала словами, потом доведём формулировку до ясности, и только тогда сделаем формулу.

В текущей несколько проблем. Например, что такое $p_i$? Это может быть как и неудачным обозначением последовательности из простых чисел, но тогда она никак не ${}\in\mathbb P$, так и обозначением элемента этой последовательности, но тогда что такое $i$? То же самое с $k_i$, ну и ещё $q$.


Любое натуральное число большее 1 можно разложить в произведение простых чисел, причём такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20017
Уфа
Теперь попробуйте определить, что такое разложение. Это могло бы быть подмножество $A\subset\mathbb P$, и «с точностью до порядка» здесь уже учтено — но нет никакой информации о степенях простых множителей. Как бы исправить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 20:36 
Аватара пользователя


20/06/14
236
arseniiv в сообщении #925117 писал(а):
Теперь попробуйте определить, что такое разложение. Это могло бы быть подмножество $A\subset\mathbb P$, и «с точностью до порядка» здесь уже учтено — но нет никакой информации о степенях простых множителей. Как бы исправить?

"Можно разложить ..." в данном случае, означает, "можно представить как ...", т. е. "Существую простые числа такие, что любое натуральное число большее 1 можно представить как их произведение"

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20017
Уфа
Это ясно. :-) Но в разных случаях этих чисел может быть разное количество — то одно, а то 183004. Формула не может иметь то одну, то 183004 переменных, обозначающих простые числа. Раз теория множеств здесь как данность, стоит попробовать собрать эти числа в какой-то один объект. В множество эти простые числа собрать не выйдет — неизвестны будут степени множителей в разложении. Надо как-то их добавить — как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 21:45 
Аватара пользователя


20/06/14
236
arseniiv в сообщении #925167 писал(а):
Это ясно. :-) Но в разных случаях этих чисел может быть разное количество — то одно, а то 183004. Формула не может иметь то одну, то 183004 переменных, обозначающих простые числа. Раз теория множеств здесь как данность, стоит попробовать собрать эти числа в какой-то один объект. В множество эти простые числа собрать не выйдет — неизвестны будут степени множителей в разложении. Надо как-то их добавить — как?

Формула может иметь хоть миллион простых чисел, главное, чтоб степени были соответствующие.
$2 = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \cdot ... \cdot 1000000000000000000000^0 \quad \equiv \quad 2 = 2^1$
Я прописал, что показатель степени может быть нулевым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20017
Уфа
Qazed в сообщении #925177 писал(а):
Формула может иметь хоть миллион простых чисел, главное, чтоб степени были соответствующие.
Вот именно. И мы не можем написать $\exists p_1\in\mathbb P\;\exists p_2\in\mathbb P\cdots\exists p_{1000000}\in\mathbb P$, потому что найдётся натуральное число, раскладывающееся в произведение 1000001 простого. Потому надо найти такое множество, чтобы обойтись одним квантором на все случаи жизни: $\exists x\in{?}$. Элементы множества ? должны соответствовать разложениям. Что можно взять в качестве этого множества?

-- Вс ноя 02, 2014 00:55:47 --

(Похоже, я веду куда-то не туда… :| )

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 22:09 
Аватара пользователя


20/06/14
236
arseniiv в сообщении #925181 писал(а):
Qazed в сообщении #925177 писал(а):
(Похоже, я веду куда-то не туда… :| )

Похоже, я дебил. Ей-богу, Вас не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение01.11.2014, 23:25 
Аватара пользователя


29/05/11
205
Красноармейск, Донецкая обл.
Qazed, в Вашей формуле есть буквы $i$ и $q$, которые не связаны никаким квантором. Такие буквы называются свободными. В теоремах свободные буквы (кроме констант) не приняты, если можно пользоваться квантором всеобщности. Поэтому либо перефразируйте теорему, либо поставьте недостающие кванторы.
Ещё у Вас есть многоточие.

arseniiv, Ваше решение предполагает использование конструкции $\prod_{x\in X} f(x)$? Как Вы её определяете? Более общно, как формально определить такую конструкцию для любой коммутативной ассоциативной операции с единицей, т.е. для любого коммутативного моноида? $X$ полагается конечным. Через введение порядка на $X$? Или как-то по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение02.11.2014, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20017
Уфа
Mysterious Light в сообщении #925219 писал(а):
arseniiv, Ваше решение предполагает использование конструкции $\prod_{x\in X} f(x)$?
Ага.

Mysterious Light в сообщении #925219 писал(а):
Как Вы её определяете? Более общно, как формально определить такую конструкцию для любой коммутативной ассоциативной операции с единицей, т.е. для любого коммутативного моноида? $X$ полагается конечным. Через введение порядка на $X$? Или как-то по-другому?
Согласен с порядком, хотя можно написать что-то типа (пусть $p(A) := \prod_{x\in A} f(x)$)$$\begin{array}{l} p(\varnothing) = 1, \\  p(A)p(B) = p(A\cup B)p(A\cap B), \end{array}$$и попробовать доказать, что для любого конечного $A$ и данной $f\colon A\to\text{к. мон.}$ такое значение $p(A)$ существует и единственно. Как будто нетрудно должно быть.

-- Вс ноя 02, 2014 03:52:37 --

Здесь можно пойти конструктивнее и рассматривать как разложения $\{c\in\mathbb P^* : \forall i\in2..|c| \;\; c_{i-1} \leqslant c_i\}$, раз уж порядок есть. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение04.11.2014, 06:35 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Qazed в сообщении #925103 писал(а):
$\forall n \in \mathbb N \quad \exists p_i \in \mathbb P \quad \exists k_i \in \mathbb N_0 : n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_q^{k_q}$

Спасибо за ответы, попробую записать по-другому
$$\forall n > 1 \quad \forall n \in \mathbb N \quad \exists p_i \in \mathbb P \quad \exists k_i \in \mathbb N_0 : n = \prod_{i=0}^q p_i^{k_i}$$
Вот не знаю, как связать $q, i$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group