2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересная связь между периодом чисел обратных к простым
Сообщение03.09.2014, 18:38 


02/09/14
4
Игрался тут с вольфрамом и обнаружил интересную связь
если взять период числа обратного к простому, переписать
в десятичную дробь. Потом поделить 1 на полученный период (без ведущих нулей)
в результате получим десятичную дробь в периодом равным
простому числу с некоторым количеством нулей
Например:
$$\frac{1}{23} = 0.(0434782608695652173913)$$
$$\frac{1}{434782608695652173913} = 0.00000000000000000000(2300000000000000000000)$$
Как это можно объяснить?
И вообще есть-ли какая-то связь между простым числом и длиной периода?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная связь между периодом чисел обратных к простым
Сообщение03.09.2014, 18:55 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Длина периода числа $1/p$ равна мультипликативному порядку $10$ по модулю $p$. При этом сам период равен $m=\frac{10^q-1}{p}$, где $q$ - длина периода.
Нетрудно видеть, что $m$ делит $10^q-1$, поэтому длина периода $1/m$ делит $q$. В частности, если эта длина равна $q$, то сам период равен $\frac{10^q-1}{m}=p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная связь между периодом чисел обратных к простым
Сообщение03.09.2014, 19:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Noctus в сообщении #903433 писал(а):
если взять период числа обратного к простому ...
Думается, так будет для любого числа, взаимно простого с $10$, простота здесь не важна.
Noctus в сообщении #903433 писал(а):
И вообще есть-ли какая-то связь между простым числом и длиной периода?
Это сложный вопрос, который сводится к отысканию порядка числа $10$ по модулю данного простого числа $p$. Этот порядок всегда является делителем $p-1$. Для некоторых $p$ он равен $p-1$, но как описать такие $p$, неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная связь между периодом чисел обратных к простым
Сообщение03.09.2014, 19:08 


02/09/14
4
А есть алгоритмы для вычисления мультипликативного порядка или нужно перебирать все числа до $p -1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная связь между периодом чисел обратных к простым
Сообщение03.09.2014, 19:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Noctus в сообщении #903446 писал(а):
А есть алгоритмы для вычисления мультипликативного порядка или нужно перебирать все числа до p-1?
Алгоритмы есть, но они неэффективны. Поэкспериментируйте со 100-значными простыми числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная связь между периодом чисел обратных к простым
Сообщение03.09.2014, 19:38 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #903447 писал(а):
Алгоритмы есть, но они неэффективны.

Очень даже эффективны, если известна факторизация $p-1$. В неё на самом деле всё и упирается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group