2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение27.08.2014, 21:11 


27/11/11
153
1) Петя и Вася играют в игру: они по очереди (начинает Петя) ставят фишки в клетки доски $2012x2012$. Выигрывает тот, после хода которого в каждом квадрате $2x2$ будет стоять хотя бы одна фишка. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?

Если рассматривать простую стратегию "в лоб", то можно просто разбить доску на сегменты $2x2$ и ставить по одной фишке в каждый сегмент по очереди. Тогда выйдет, что сегментов будет $503 x 503$. То есть нечетное количество и выигрывает Петя. Но ведь помимо этого есть масса других стратегий. Ведь Вася должен догадаться, что не нужно использовать простую стратегию. Но какую же стратегию ему использовать. Нужно портить сегменты Пети. Но ведь можно по одной фишке подсовывать в сегменты, по 2, по 3. В каждый сегмент подсовывать или нет -- тоже еще вопрос. То есть вариантов очень много. Можете, пожалуйста, подсказать -- в какую сторону думать?

2) Петя и Вася играют в игру на доске $4x25$. Они по очереди (начинает Петя) ставят ладей на свободные клетки доски. При этом Петя может ставить ладей под бой четного числа уже поставленных ладей, а Вася -- под бой нечетного числа уже поставленных ладей (ладьи не бьют сквозь друг друга). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Можете подсказать с чего начать? Ладьи подразумеваются одноцветные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение27.08.2014, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14007
Новомосковск
never-sleep в сообщении #900969 писал(а):
можно просто разбить доску на сегменты $2x2$ и ставить по одной фишке в каждый сегмент по очереди. Тогда выйдет, что сегментов будет $503 x 503$
Почему это вдруг $503\times 503$? А в квадрате $4\times 4$ сколько будет сегментов? Неужели всего один?

never-sleep в сообщении #900969 писал(а):
Нужно портить сегменты Пети.
В каком смысле "портить"? Добавление лишних фишек в сегмент его не портит, в нём "хотя бы одна" фишка имеется.

never-sleep в сообщении #900969 писал(а):
Ладьи подразумеваются одноцветные?
Да.

P.S. Знак умножения в виде косого креста — \times. А вообще, в теме "Краткий ФАК по тегу [math]." много всяких значков можно найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение28.08.2014, 00:20 


27/11/11
153
Спасибо! Ох, точно $1006\times 1006$, тогда выигрывает Вася!
Портит -- значит сбивается расставление по 1 фишке в сегмент, далее считать сложнее. Как лучше это учесть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение28.08.2014, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14007
Новомосковск
never-sleep в сообщении #901055 писал(а):
Ох, точно $1006\times 1006$
Ой ли! Я вот в квадрате $4\times 4$ насчитал $9$ штук.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение28.08.2014, 09:49 
Заслуженный участник


12/09/10
1455
1) Разберитесь, кто выигрывает на доске $2\times n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение28.08.2014, 11:12 


27/11/11
153
Someone в сообщении #901067 писал(а):
Ой ли! Я вот в квадрате $4\times 4$ насчитал $9$ штук.

Точно, вы правы, гораздо больше.

-- 28.08.2014, 11:19 --

Cash в сообщении #901119 писал(а):
1) Разберитесь, кто выигрывает на доске $2\times n$

ОК, пока что рассматриваю при $n=8$
Понимаю, что сегментов будет не 4, а гораздо больше. Для начала рассмотрю последовательно идущие 4 квадрата $2\tines 2$. Далее пишу именно про эти 4 сегмента.
Если будут играть в простую игру, выставляя по одной фишке в каждый сегмент, то выиграет Вася.
Если по 2 фишки в каждый сегмент будут ставить, то выиграет снова Вася.
Если по 3 фишки в каждый сегмент будут ставить, то выиграет снова Вася.
Если по 4 фишки в каждый сегмент, то выиграет Петя.
Ясно, что здесь есть много промежуточных вариантов еще. Пока что верно или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение28.08.2014, 12:07 
Заслуженный участник


12/09/10
1455
Неверно.
Они играют в одну игру, а не в четыре.
Начните со случая $2\times 4$. Сколько здесь всего квадратов?
И просто переберите все варианты игры (сыграйте сами с собой, пытаясь выиграть за каждую сторону).
Перейдите потом к $2\times 5$, далее $2\times 6$
может и найдете закономерность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение28.08.2014, 16:28 


27/11/11
153
Cash в сообщении #901189 писал(а):
Неверно.
Они играют в одну игру, а не в четыре.
Начните со случая $2\times 4$. Сколько здесь всего квадратов?
И просто переберите все варианты игры (сыграйте сами с собой, пытаясь выиграть за каждую сторону).
Перейдите потом к $2\times 5$, далее $2\times 6$
может и найдете закономерность.

В случае $2\times 4$ будет 3 квадрата и выигрышная стратегия у Пети (выиграет за 2 хода).
В случае $2\times 5$ будет 4 квадрата и выигрышная стратегия у Пети (выиграет за 3 хода).
В случае $2\times 6$ будет 5 квадрата и выигрышная стратегия у Пети (выиграет за 4 хода).
В случае $2\times n$ будет $n-1$ квадратов и выигрышная стратегия у Пети (выиграет за $n-2$ хода).
Верно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение29.08.2014, 06:07 


12/02/14
71
В порядке бреда. Возможно, следует обдумать симметричные ходы и занятие центральной ячейки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение29.08.2014, 08:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4537
Нов-ск
never-sleep в сообщении #901308 писал(а):
В случае $2\times 4$ будет 3 квадрата и выигрышная стратегия у Пети (выиграет за 2 хода).
Верно ли это?
Петя начинает, затем ходит Вася, а Пете ходить некуда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение29.08.2014, 10:46 


27/11/11
153
У Пети нечетные номера. Потому, чтобы попасть каждый квадрат, примерно вот так должна развиваться игра. Тут Петя выигрывает все время (потому как в конце нечетный номер). Правильно?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение29.08.2014, 11:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14007
Новомосковск
never-sleep в сообщении #901587 писал(а):
Правильно?
Неправильно. На поле $2\times 4$ выигрывает Вася. За два хода: Петя ставит фишку куда-нибудь, затем делает ход Вася и выигрывает. Вам об этом уже написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение29.08.2014, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4537
Нов-ск
never-sleep в сообщении #901587 писал(а):
У Пети нечетные номера. Потому, чтобы попасть каждый квадрат, примерно вот так должна развиваться игра. Тут Петя выигрывает все время (потому как в конце нечетный номер). Правильно?
В углах всех клеток (но не на границе области) поставим по колышку. Ходом на какую-то клетку игрок сбивает все колышки, стояшие в углах этой клетки. Выигрывает тот, кто собьет последние колышки. На доске $4 \times 2$ всего $3$ колышка.

На доске $n \times 2$ при $n>3$ второй игрок дожидается момента, когда на доске останутся один или два рядом стоящих колышка и уничтожает их, т.е. выигрывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение30.08.2014, 12:47 


27/11/11
153
Someone в сообщении #901592 писал(а):
never-sleep в сообщении #901587 писал(а):
Правильно?
Неправильно. На поле $2\times 4$ выигрывает Вася. За два хода: Петя ставит фишку куда-нибудь, затем делает ход Вася и выигрывает. Вам об этом уже написали.

Точно, понятно, извиняюсь, что туплю.

-- 30.08.2014, 12:47 --

TOTAL в сообщении #901598 писал(а):
never-sleep в сообщении #901587 писал(а):
У Пети нечетные номера. Потому, чтобы попасть каждый квадрат, примерно вот так должна развиваться игра. Тут Петя выигрывает все время (потому как в конце нечетный номер). Правильно?
В углах всех клеток (но не на границе области) поставим по колышку. Ходом на какую-то клетку игрок сбивает все колышки, стояшие в углах этой клетки. Выигрывает тот, кто собьет последние колышки. На доске $4 \times 2$ всего $3$ колышка.

А почему 3 колышка, а не 4?
Изображение

-- 30.08.2014, 12:51 --

TOTAL в сообщении #901598 писал(а):
На доске $n \times 2$ при $n>3$ второй игрок дожидается момента, когда на доске останутся один или два рядом стоящих колышка и уничтожает их, т.е. выигрывает.

Хорошо, спасибо. А как обобщать? После $2\times n$ лучше брать $3\times n$ ?

-- 30.08.2014, 12:57 --

Я ведь неправильно понял про колышки, да?
Точки -- колышки. Крестики-- ходы.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадные задачки про доску с клетками.
Сообщение01.09.2014, 04:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4537
Нов-ск
never-sleep в сообщении #902046 писал(а):
Я ведь неправильно понял про колышки, да?
Точки -- колышки. Крестики-- ходы.

Колышки стоят на пересечении линий сетки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group