2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кривизна пространства вселенной в локально галилеевой СО
Сообщение25.08.2014, 11:18 


25/06/12

389
Не увидев рассмотрения излагаемого ниже вопроса в литературе, предлагаю обсудить его на форуме.

В 1922г А.А.Фридманом разработана теоретическая модель нестационарной вселенной. Ее математическое описание дается в глобальной системе координат, в которой пространство представляется в виде 3d-сферы с изменяющимся радиусом кривизны. Из решения Фридмана следует, что скалярная кривизна пространства является функцией плотности распределения материи и относительной скорости расширения пространства, называемой постоянной Хаббла, и в общем случае может иметь как положительное, так и отрицательное значение.
Между тем реальные астрономические наблюдения производятся не в глобальной, а в локальной евклидовой геодезической системе пространственных координат, в которой мы регистрируем разлетающиеся галактики в статическом пространстве. Согласно ОТО в окрестности любой точки 4-пространства (точки наблюдения) и даже вдоль некоторой произвольной кривой всегда можно выбрать локально галилееву СО, в которой пространственные метрические коэффициенты с высокой точностью равны символам Кронекера со знаком минус $g_{ik}=-\delta_{ik},$ а временная компонента $g_{00}=1.$
В простейшем случае однородного пространства квадрат 4-интервала вдоль оси абсолютного времени может быть представлен в следующей канонической форме $$ds^2=dx_0^2 + \sum _{i=0}^3 b\,x_0\,x_idx_0 dx_i - \sum _{i=1}^3 dx_i^2 + \sum_{i=1}^3 \, \sum_{j=1}^3 a\, x_i x_j\,dx_i dx_j \quad \text {где}\,\, x_j=0\, \text {при}\,\, j=i.$$ Эдесь $x_0=ct.$ Началу координат отвечают значения переменных $x_0=x_1=x_2=x_3=0.$
Величина $a$ связана с радиусом вселенной, а величина $b$ - со скоростью его изменения.

Определим связь скалярной кривизны 3-пространства $P$ в локально геодезических координатах с плотностью распределения пылевидной материи. Далее латинскими буквами обозначены пространственные индексы, а греческими буквами как пространственные, так и временные индексы 4-пространсттва Минковского. Прежде всего заметим, что в рассматриваемом случае компоненты тензора кривизны Римана 3-пространства $P_{ijkl}$ и соответствующие коэффициенты тензора 4-пространства $R_{ijkl}$ совпадают, поскольку они выражаются через единые метрические коэффициенты: $$P_{ijkl}=R_{ijkl}=\frac 1 2 \left(\frac {\partial^2 g_{il}} {\partial x^j \partial x^k} + \frac {\partial^2 g_{jk}} {\partial x^i \partial x^l} - \frac {\partial^2 g_{ik}} {\partial x^j \partial x^l} - \frac {\partial^2 g_{jl}} {\partial x^i \partial x^k} \right),\qquad (1)$$ Здесь учтено равенство нулю символов Кристоффеля $\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}=0$ в геодезической системе координат. Также совпадают коэффициенты тензора Риччи 3-пространства $P_{ij}$ с соответствующими коэффициентами тензора Риччи $R_{ij}$ 4-пространства, поскольку первые и вторые коэффициенты получаются сверткой одинаковых компонент единого тензора Римана.

Вычислим в той же СО компоненту $R^{\text {Э}}_{00}$ тензора кривизны Эйнштейна, фигурирующего в основном уравнении ОТО. $$ R^{\text {Э}}_{00}=R_{00} - \frac 1 2 g_{00} R = R_{00} - g_{00} g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}=$$ $$= R_{00} - \frac 1 2 g_{00} (g^{0\beta}R_{0\beta} + g^{\alpha 0}R_{\alpha 0} + g^{ik}R_{ik})=$$ $$= R_{00} - \frac 1 2 (2\, R_{00} + g^{ik}R_{ik}) = P. \qquad (2) $$ Здесь во второй строке общая свертка тензора Римана 4-пространства разделяется на свертки с пространственно-временными и чисто пространственными метрическими коэффициентами. В последней строке подставляются числовые значения метрических коэффициентов, производится сокращение коэффициентов $R_{00}$, и последняя свертка заменяется скалярной кривизной 3-пространства.

Учитывая основную формулу ОТО $R^{\text {Э}}_{00}=8 \pi k\, T_{00} /c^2,$ получаем выражение, связывающее скалярную кривизну пространства с плотностью распределения пылевидной материи $P= 8 \pi k \mu/c^2,$ где k - гравитационная постоянная и $\mu$ - плотность распределения материи.

Полученный результат противоречит известному выражению Фридмана [Л-Л, Т.2, 2003, (114.13 - 114.16)], где радиус кривизны вселенной определяется как плотностью материи, так и скоростью расширения вселенной. Дело здесь в том, что система координат Фридмана, не является геодезической, о чем свидетельствует отличие от нуля во всем пространстве символов Кристоффеля (см. Л-Л, параграф 112). В фридмановой системе координат в случае изменения радиуса вселенной привносится дополнительная кривизна пространства, связанная с не оптимальным выбором системы пространственно-временных координат.
Поясним сказанное на наглядном примере расширяющейся двумерной сферической поверхности. Очевидно, ее скалярная кривизна в некоторый момент времени в произвольной точке определяется пространственными компонентами метрического тензора в геодезической системе координат (например, квазиевклидовых), и никак не связана со скоростью расширения рассматриваемой поверхности.

Таким образом, скалярная кривизна пространства вселенной, а вместе с тем и радиус кривизны, при выборе канонической системы отсчета, т.е. локально галилеевой системы координат, зависят лишь от плотности распределения материи, и не зависят от скорости разбегания галактик. При этом наблюдатель при любой плотности материи в своей окрестности всегда наблюдает положительную кривизну вселенной, что в общем случае не отвечает замкнутости вселенной при ее описании в глобальной системе координат.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group