Определение натуральных чисел

[{0}]

Можно ли свести понятие натурального ряда к чему-то более простому? То, что я вижу в книжках по мат. логике это масло маслянное, сначала определяют понятие формальной системы (которое неявно содержит в себе индукцию, а значит и N), а потом в ней уже как-то выражают натуральные числа.

[Nemiroff]

{0} в сообщении #899155 писал(а):

которое неявно содержит в себе индукцию, а значит и N

Чиво?

[{0}]

Элементарно же, какой нибудь символ берём в качестве базы, потом определяем понятие следующего через индукцию.

[Nemiroff]

Конечные ординалы. А всё множество --- наименьший непустой предельный.

[Xaositect]

{0} в сообщении #899155 писал(а):

Можно ли свести понятие натурального ряда к чему-то более простому? То, что я вижу в книжках по мат. логике это масло маслянное, сначала определяют понятие формальной системы (которое неявно содержит в себе индукцию, а значит и N), а потом в ней уже как-то выражают натуральные числа.

Понятие формальной системы само по себе индукции не требует. Но доказать что-нибудь более-менее нетривиальное без индукции в метатеории действительно не получится.

[{0}]

Nemiroff в сообщении #899169 писал(а):

Конечные ординалы. А всё множество --- наименьший непустой предельный.

А определение ординала в свою очередь неявно не будет содержать понятие натурального числа?
Например, если мы определим его как часть формальной теории, но любая формальная теория по сути его уже содержит, а значит опять получается замкнутый круг.

[Nemiroff]

{0} в сообщении #899179 писал(а):

А определение ординала в свою очередь неявно не будет содержать понятие натурального числа?

Я не понимаю, что значит "неявно содержит". В частности, я не понимаю, как индукция "неявно содержит" натуральные числа.

[Xaositect]

Nemiroff в сообщении #899181 писал(а):

Я не понимаю, что значит "неявно содержит". В частности, я не понимаю, как индукция "неявно содержит" натуральные числа.

Насколько я понимаю, речь идет о том, что определение формальной системы опирается на понятие строки (и даже если мы буде рассматривать какие-нибудь диаграммы или что-то похожее, то все равно там будет что-то, что можно назвать "цепочка символов").
А натуральные числа получаются из строк просто забыванием различия между символами.

И вообще, определение строки включает в себя индукцию по структуре (пустая строка - строка, если $w$ - строка, $a$ - символ, то и $aw$ - строка, и других строк нет).
Так что действительно, без индукции не обойтись, я с предыдущим комментарием поторопился.
Тут вопрос в том, считать ли понятие строки более простым, чем понятие натурального числа.

[Nemiroff]

Xaositect в сообщении #899188 писал(а):

И вообще, определение строки включает в себя индукцию по структуре (пустая строка - строка, если $w$ - строка, $a$ - символ, то и $aw$ - строка, и других строк нет).
Так что действительно, без индукции не обойтись, я с предыдущим комментарием поторопился.
Тут вопрос в том, считать ли понятие строки более простым, чем понятие натурального числа.

Мне кажется, тут уже вопрос, что именно считать индукцией.
Как я понимаю, если опираться на теорию множеств, то мат. индукцию вообще выводят как теорему.

Часть сообщений отделена в "Пупгатроий (Св)". / GAA, 24.08.2014

[{0}]

Nemiroff в сообщении #899181 писал(а):

Я не понимаю, что значит "неявно содержит".

В частности, я не понимаю, как индукция "неявно содержит" натуральные числа.

Значит определяется через имеющийся понятийный аппарат, пусть даже об этом явно и не говорится.

Как только мы получаем индукцию в какой либо форме, тут же естественным образом возникает натуральный ряд (можно рисовать палочки или ряды символов как я выше писал).

Xaositect в сообщении #899188 писал(а):

Насколько я понимаю, речь идет о том, что определение формальной системы опирается на понятие строки (и даже если мы буде рассматривать какие-нибудь диаграммы или что-то похожее, то все равно там будет что-то, что можно назвать "цепочка символов").
А натуральные числа получаются из строк просто забыванием различия между символами.

И вообще, определение строки включает в себя индукцию по структуре (пустая строка - строка, если $w$ - строка, $a$ - символ, то и $aw$ - строка, и других строк нет).
Так что действительно, без индукции не обойтись, я с предыдущим комментарием поторопился.
Тут вопрос в том, считать ли понятие строки более простым, чем понятие натурального числа.

Не совсем. В предыдущем сообщении правильно писали, что само по себе понятие строки или общее определение формального языка не требует индукции (я это так же себе представлял). Но уже на стадии определения грамматики этого языка без индукции никуда. Натуральные числа скорее возниакют из индукции оперированием символами, а не чисто из понятия строки.


Получается формальная теория натурального ряда, не является его обоснованием? Это максимум можно считать иллюстрацией или примером конкретной формальной системы и всё?

И вообще, любой метаязык должен иметь среди своих исходных понятий индукцию, иначе мы ничего не сможем сделать?

Nemiroff в сообщении #899222 писал(а):

Как я понимаю, если опираться на теорию множеств, то мат. индукцию вообще выводят как теорему.

Если имеется ввиду теория множеств как формальная система, там скорее происходит кодировка натуральных чисел множествами (0 - пустое множество, 1 - множество состоящее из пустого и т.д.) а не определение. А само понятие вытекает уже из голого определения формальной системы если мы можем применить индукцию (собственно это "и т.д." и есть та индукция в действии).

[Xaositect]

{0} в сообщении #899256 писал(а):

Не совсем. В предыдущем сообщении правильно писали, что само по себе понятие строки или общее определение формального языка не требует индукции (я это так же себе представлял). Но уже на стадии определения грамматики этого языка без индукции никуда. Натуральные числа скорее возниакют из индукции оперированием символами, а не чисто из понятия строки.

Определение грамматики обычно имеет такой же вид, как и определение строки. Вот, например, грамматика исчисления высказываний:
Алфавит содержит символы $X$, $|$, $\neg$, $\to$, $($, $)$

Строки:
1) Пустая строка - строка
2) Если $a$ - символ, $w$ - строка, то $wa$ - строка
3) Других строк нет

Конкатенация:
1) Если $x$ - строка, $y$ - пустая строка, $z = y$, то $z$ является конкатенацией $x$ и $y$
2) Если $x$ - строка, $y$ - строка, $y = y'a$, $z'$ является конкатенацией $x$ и $y'$, то $z'a$ является конкатенацией $x$ и $y$.
3) В других случаях отношение "$z$ является конкатенацией $x$ и $y$" не выполняется.

Конкатенация 5 строк:
1) Если $x,y,z,u,v$ - строки, $xy$ является конкатенацией $x$ и $y$, $xyz$ является конкатенацией $xy$ и $z$, $xyzu$ является конкатенацией $xyz$ и $u$, $xyzuv$ является конкатенацией $xyzu$ и $v$, то $xyzuv$ является конкатенацией 5 строк $x,y,z,u,v$
2) Других случаев нет.

Переменные:
1) Если $x=X$, то $x$ - переменная.
2) Если $x$ - переменная, то $x|$ - переменная
3) Других переменных нет.

Формулы:
1) Если $x$ - переменная, то $x$ - формула.
2) Если $f$ - формула, $\bar{f}$ является конкатенацией $\neg$ и $f$, то $\bar{f}$ - формула
3) Если $f$ - формула, $g$ - формула, $h$ является конкатенацией 5 строк $($, $f$, $\to$, $g$, $)$, то $h$ - формула
4) Других формул нет.

Видно, что эти определения имеют одинаковую структуру.

[absque]

Вот, кстати, замечание Бурбаки во "Введении" по поводу использования арифметики при построении формальной теории:

Цитата:

...Но очень скоро встречаются примеры, в которых аргументация принимает типично математический характер, с преимущественным употреблением произвольных целых чисел и рассуждений по индукции. Правда, теперь мы не можем более отрицать опасность логической ошибки, поскольку как будто с самого начала используются все ресурсы арифметики и в то же время предполагается изложить, между прочим, ее основания. На это некоторые находят возможным отвечать, что в рассуждениях такого рода мы лишь описываем операции, поддающиеся выполнению и контролю, и что по этой причине мы исчерпываем в этих рассуждениях убеждение другого порядка, чем то, которое мы приписываем математике в собственном смысле. Проще, по-видимому, сказать, что можно было бы обойтись без метаматематических рассуждений, если бы формализованная математика была действительно записана: вместо использования «дедуктивных критериев» мы каждый раз вновь начинали бы последовательности операций, которые мы теперь хотим сократить тем, что предсказываем их результат. Но формализованная математика не может быть записана вся полностью, и потому, в конце концов приходится просто питать доверие к тому, что можно назвать здравым смыслом математика, — доверие, аналогичное тому, которое бухгалтер и инженер, не подозревая о существовании аксиом Пеано, питают к формуле или численной таблице и которое в конечном счете основано на том, что оно никогда не было подорвано фактами.

[{0}]

Интересное замечание...


PS Может тему в раздел мат. логики перенести?

[loshka]

аксиоматики Пеано людям мало?

[{0}]

Увы, чёртова индукция вылазит и там.