2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Oleg Zubelevich в сообщении #900026 писал(а):
укоротим доказательство.

Пусть $A$ -- компакт
Это, конечно, замечательное доказательство, только топикстартер, очевидно, не знает про компакты, кроме того, что такое слово есть. И задача не случайно сформулирована не про компакты, а про замкнутые ограниченные множества в $\mathbb R^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 12:13 


22/07/12
560
Someone в сообщении #900063 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #900026 писал(а):
укоротим доказательство.

Пусть $A$ -- компакт
Это, конечно, замечательное доказательство, только топикстартер, очевидно, не знает про компакты, кроме того, что такое слово есть. И задача не случайно сформулирована не про компакты, а про замкнутые ограниченные множества в $\mathbb R^n$.

Я знаю, что такое компакт. Просто у нас была теорема, что множество $A \subset R^n$ является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. При доказательстве необходимости замкнутости мы лишь пользовались тем, что пространство хаусдорфово, а множество - компакт. А для доказательства ограниченности только тем, что множество - компакт. Это значит, что в произвольном метрическом пространстве, компакт - ограниченное и замкнутое множество (хотя возможно, что я ошибаюсь). А вот для доказательства достаточности мы сказали, что так как множество ограничено, то содержится в каком-то брусе, который является компактом. А замкнутое подмножество компакта - есть компакт. Но я не учёл, что о брусе можно говорить только в $R^n$, поэтому ошибочно сказал про произвольное хаусдорфово пространство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 12:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #900153 писал(а):
А вот для доказательства достаточности мы сказали, что так как множество ограничено, то содержится в каком-то брусе, который является компактом.

Ну напрасно. Конечно, можно при доказательстве сослаться на одномерный результат, однако естественнее доказывать в лоб непосредственно для многомерного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 12:28 


22/07/12
560
main.c в сообщении #899987 писал(а):
У меня не получается доказать его. Нам нужно доказать, что
$$\forall x_0 \in A, \forall\varepsilon > 0\  \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x_0, y)| < \varepsilon $$
Для доказательства достаточно обойтись одним только неравенством треугольника? Или всё-таки какие-то дополнительные свойства нужно вывести? Дело в том, что напрямую из него непрерывность не следует.

Извините меня, если я достал Вас с этим топиком, но у меня будет спокойно на душе, если я пойму доказательство автора учебника. А он предлагает, доказать, что выше приведённая функция (имеется ввиду из цитаты в этом сообщении) непрерывна. Хочу сразу заметить, что это доказательство не такое же как то, которое свзяано с прямым произведением. Здесь всё происходит в том же самом пространстве и ничего лишнего не вводится. Так вот, я знаю обратное неравенство треугольника, но тут точные нижние грани, и я не понимаю, как мне с ними оперировать. Можно конечно бросить это задание, все равно уже решено, но суть то в том, что бы научиться решать, а не просто для галочки, поэтому разные доказательства по-моему лишь пойдут на пользу.

-- 26.08.2014, 12:41 --

ewert в сообщении #900160 писал(а):
main.c в сообщении #900153 писал(а):
А вот для доказательства достаточности мы сказали, что так как множество ограничено, то содержится в каком-то брусе, который является компактом.

Ну напрасно. Конечно, можно при доказательстве сослаться на одномерный результат, однако естественнее доказывать в лоб непосредственно для многомерного.

Разве $R^n$ - это одномерное пространство, немного не понял, что Вы имели ввиду под "одномерный результат".

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
main.c в сообщении #900165 писал(а):
но тут точные нижние грани

обратное неравенство, приведенное мною, верно для всех значений аргументов... а в Вашем заклинании
main.c в сообщении #900165 писал(а):
У меня не получается доказать его. Нам нужно доказать, что
$$\forall x_0 \in A, \forall\varepsilon > 0\  \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x_0, y)| < \varepsilon $$

что-то не так

Имелось ввиду$$\forall y\in B\quad\forall x \in A, \forall\varepsilon > 0\  \exists \delta = \delta(\varepsilon,x,y) > 0: \rho(x, x') < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x', y)| < \varepsilon $$я добавил аргументов в дельту т.к. равномерная непрерывность не требуется

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 12:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #900165 писал(а):
Разве $R^n$ - это одномерное пространство, немного не понял, что Вы имели ввиду под "одномерный результат".

А почему, собственно, брусок компактен?... Единственная естественная причина -- это то, что он есть декартово произведение отрезков, компактность которых уже известна. При любом другом подходе никаких брусков не нужно.

-- Вт авг 26, 2014 14:06:31 --

alcoholist в сообщении #900172 писал(а):
main.c в сообщении #900165 писал(а):
У меня не получается доказать его. Нам нужно доказать, что
$$\forall x_0 \in A, \forall\varepsilon > 0\  \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |\inf\limits_{y \in B} \rho(x, y) - \inf\limits_{y \in B} \rho(x_0, y)| < \varepsilon $$

что-то не так

Всё так. Единственный нюанс: вместо $\exists \delta = \delta(\varepsilon)$ следовало бы написать или $\exists \delta = \delta(x_0,\varepsilon)$, или попросту $\exists \delta$ (что эквивалентно). А так -- тоже верно, но неэстетично: ни два, ни полтора.

Нормальные герои всегда идут в обход, вот и автор этой рекомендации -- истинный герой. Он предлагает для решения задачи доказать и затем использовать тот факт, что расстояние от точки до множества есть функция, непрерывная в каждой точке. Цель сама по себе, конечно, святая; только вот эта теоремка существенно сложнее, чем исходная задачка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 14:19 


10/02/11
6786
1

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 14:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #900230 писал(а):
ошибаетесь, более того, ограниченность в отличие от компактности, топологического смысла не имеетет.

main.c в сообщении #900153 писал(а):
метрическом

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 14:25 


10/02/11
6786
и что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Oleg Zubelevich
ну, описка у Вас)))

-- Вт авг 26, 2014 14:30:06 --

Oleg Zubelevich
ТС справедливо заметил, что в м.п. компакт ограничен и замкнут... он не утверждал обратное:)

-- Вт авг 26, 2014 14:31:19 --

тире в русском языке (наверное, в любом, где есть знаки препинания) означает "есть", а не "есть и только есть" (если перед этой фразой не стоит громкое слово ОПРЕДЕЛЕНИЕ)

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 14:36 


10/02/11
6786
alcoholist в сообщении #900236 писал(а):
Oleg Zubelevich
ну, описка у Вас)))

-- Вт авг 26, 2014 14:30:06 --

Oleg Zubelevich
ТС справедливо заметил, что в м.п. компа


ой! :oops: а я именно почему-то решил, что он утверждает обратное

-- Вт авг 26, 2014 14:37:15 --

затер

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение26.08.2014, 14:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #900242 писал(а):
ой! :oops: а я именно почему-то решил, что он утверждает обратное

это что-то заразное: мне, когда я первый раз увидел то сообщение ТС, почему-то тоже сперва почудилось что-то обратное, но я вовремя спохватился

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение27.08.2014, 15:53 


22/07/12
560
ewert в сообщении #900181 писал(а):
А почему, собственно, брусок компактен?... Единственная естественная причина -- это то, что он есть декартово произведение отрезков, компактность которых уже известна. При любом другом подходе никаких брусков не нужно.

Ну не единственная, если в кратце, то мы доказываем так:
1. Покрываем множество.
2. Делим брус на $2^n$ частей, пополам по каждому координатному отрезку (если можно так выразиться).
3. Находим часть, из которой нельзя выделить конечное подпокрытие и переходим к шагу 2.
4. Полученная система вложенных брусов обязательно содержит общую точку.
5. Ну а продолжение такое же, когда мы доказываем, что отрезок компактен.
ewert в сообщении #900181 писал(а):
Нормальные герои всегда идут в обход, вот и автор этой рекомендации -- истинный герой. Он предлагает для решения задачи доказать и затем использовать тот факт, что расстояние от точки до множества есть функция, непрерывная в каждой точке. Цель сама по себе, конечно, святая; только вот эта теоремка существенно сложнее, чем исходная задачка.

Да, сам я доказательство придумать увы не смог, но доказательство которое приведено тут: http://dxdy.ru/topic86507.html, я не назвал бы сложным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение27.08.2014, 16:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #900786 писал(а):
Ну не единственная, если в кратце, то мы доказываем так:
1. Покрываем множество.
2. Делим брус на $2^n$ частей, пополам по каждому координатному отрезку (если можно так выразиться).

и т.д. Да, это один из стандартных способов доказательства. Но Вы же ссылались на другое -- на то, что сам брусок компактен. Если этот факт считается известным, то никаких делений уже не нужно.

Можно доказать проще -- если уже известно, что компактность в смысле покрытий равносильна секвенциальной компактности в смысле Больцано-Вейерштрасса. Из любой последовательности выбираем подпоследовательность, сходящуюся по первой координате, из неё -- сходящуюся и по второй и т.д. Итого получаем подпоследовательность, сходящуюся по норме (равномерной), вот и всё.

main.c в сообщении #900786 писал(а):
доказательство которое приведено тут: topic86507.html
, я не назвал бы сложным.

Слишком сложно. На самом деле побороть инфимумы можно всего лишь в два шага:

$\rho(x_1,y)-\rho(x_2,y)\leqslant\rho(x_1,x_2)\ (\forall y\in A)\ \Rightarrow\ \rho(x_1,A)-\rho(x_2,y)\leqslant\rho(x_1,x_2)\ (\forall y),$

и если теперь выбрать последовательность $\{y_n\in A\}$, по которой $\rho(x_2,y_n)\to\rho(x_2,A)$, то

$\rho(x_1,A)-\rho(x_2,y_n)\to\rho(x_1,A)-\rho(x_2,A)\ \Rightarrow\ \rho(x_1,A)-\rho(x_2,A)\leqslant\rho(x_1,x_2),$

а в силу равноправия $x_1$ и $x_2$ можно слева и модуль поставить. Вообще эпсилонов-дельт следует всячески избегать, вот и тут они совершенно не обязательны.

Так что доказательство действительно очень простое; но, как показывает Ваша же ссылка, эта простота не так уж и очевидна. В отличие от апелляции к Больцано-Вейерштрассу, где всё прозрачно с самого начала.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group