2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 16:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #899804 писал(а):
Написано следующее: коль скоро минимизирующая последовательность $(x_n,y_n)$ сходится к $(x,y)$ то $d(x_n,y_n)\to d(x,y).$

Ничего подобного: написано, что коль скоро на минимизирующей последовательности $x_n$ сходится к $x$ и $y_n$ сходится к $y$, то. И никаких двоек.

Oleg Zubelevich в сообщении #899804 писал(а):
Вот это будет настоящая "методика преподавания".

Стоит хотя бы раз произнести слово "непрерывность", и мы получим ровно антиметодику: задачка относится к пространствам как таковым, функции же на них, тем более непрерывные, тем более теорема Вейерштрасса -- вопрос следующий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 17:47 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #899814 писал(а):
Стоит хотя бы раз произнести слово "непрерывность", и мы получим ровно антиметодику: задачка относится к пространствам как таковым, функции же на них, тем более непрерывные, тем более теорема Вейерштрасса -- вопрос следующий.

Есть много теорем которые "относятся к пространствам как таковым" , а при доказательстве используют самую разную дополнительную структуру, которая в формулировке теоремы отсутствует. Поэтому не математику надо кроить под методику преподавания, а наоборот. Если в Вашем курсе для доказательства, которе привел мат-ламер, нет места, то это значит , что Ваш курс плохой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 17:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899835 писал(а):
это значит , что Ваш курс плохой.

Да, мой плох. А ваш подход хорош до такой степени, что затянул объяснение тривиального вопроса на полторы страницы, окончательно запудрив ТС мозги. Такой вот экспериментальный факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 18:12 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

ewert в сообщении #899841 писал(а):
А ваш подход хорош до такой степени, что затянул объяснение тривиального вопроса на полторы страницы, окончательно запудрив ТС мозги. Такой вот экспериментальный факт.


а почему именно мой? в эту ветку , кроме меня, три человека писали, в том числе вы. Может это ваш подход запудрил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 18:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899847 писал(а):
Может это ваш подход запудрил?

Не может -- ТС отрубился до меня, причём в полной растерянности, перечитайте его последнее сообщение.

(формально его вырубил последний совет Someone, но это лишь формально -- фактически же он не выдержал толкотни вокруг никому не нужных дополнительных топологий)

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 18:53 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #899853 писал(а):
никому не нужных дополнительных топологий

это вы про топологию прямого произведения? Сильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 18:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899865 писал(а):
это то, чем отличается математика от методики преподавания математики.

Совершенно верно. В математике можно использовать таблицу интегралов и таблицу умножения в произвольном порядке. При изучении же математики учить таблицу интегралов до таблицы умножения несколько невыгодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
ewert в сообщении #899853 писал(а):
формально его вырубил последний совет Someone, но это лишь формально -- фактически же он не выдержал толкотни вокруг никому не нужных дополнительных топологий
Вообще-то, заглянув в эту тему и обнаружив тут какую-то возню вокруг непрерывности метрики, я сильно удивился, но попытался поддержать идею, однако, видимо, неудачно. На самом деле всё просто и никакой непрерывности не требуется.
Заданы два непустых дизъюнктных (не пересекающихся) замкнутых ограниченных подмножества $A,B\subset\mathbb R^n$. Требуется доказать, что $\rho(A,B)>0$, где $\rho$ — метрика пространства $\mathbb R^n$. План решения следующий.
1) Предполагая противное, то есть, что $\rho(A,B)=\inf\{\rho(x,y):x\in A,y\in B\}=0$, строим последовательность пар точек $(x_m,y_m)$, где $x_m\in A$, $y_m\in B$, удовлетворяющих условию $\rho(x_m,y_m)<\frac 1m$ для всех $m\in\mathbb N$.
2) Пользуясь теоремой Больцано — Вейерштрасса, находим сходящуюся подпоследовательность $x_{m_k}$, $k\in\mathbb N$. Удобно считать, что $m_k\geqslant k$. Пусть $\lim\limits_{k\to\infty}x_{m_k}=x$.
3) Пользуясь определением предела последовательности в метрическом пространстве, доказываем, что $\lim\limits_{k\to\infty}y_{m_k}=x$.
4) Используя тот факт, что в метрическом пространстве предел сходящейся последовательности точек некоторого замкнутого множества также принадлежит этому множеству, получаем противоречие с условием $A\cap B=\varnothing$.

Ограниченность множества $B$ в этом доказательстве никак не используется, так что получается более сильное утверждение, чем требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 20:29 


10/02/11
6786
Someone в сообщении #899895 писал(а):
Используя тот факт, что в метрическом пространстве предел сходящейся последовательности точек некоторого замкнутого множества также принадлежит этому множеству,

виноват, а в неметрическом пространстве, в смысле в произвольном топологическом, бывает иначе?

-- Пн авг 25, 2014 20:36:43 --

Someone в сообщении #899895 писал(а):
Ограниченность множества $B$ в этом доказательстве никак не используется, так что получается более сильное утверждение, чем требовалось.

тут уместно вспомнить понятие коэрцитивность

-- Пн авг 25, 2014 20:52:17 --

Someone в сообщении #899895 писал(а):
олучается более сильное утверждение, чем требовалось.

это как посмотреть, утверждение про два непересекающихся компакта верно в любом метрическом пространстве, а не только в $\mathbb{R}^m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 21:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Someone в сообщении #899895 писал(а):
, строим последовательность пар точек $(x_m,y_m)$, где $x_m\in A$, $y_m\in B$, удовлетворяющих условию $\rho(x_m,y_m)<\frac 1m$ для всех $m\in\mathbb N$.

Ну эти-то изыски ещё зачем? Пусть она просто стремится к нулю как угодно. Чем тут поможет квалификация этого стремления?

-- Пн авг 25, 2014 22:21:30 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899902 писал(а):
тут уместно вспомнить понятие коэрцитивность

Неуместно абсолютно. Ну почему Вам нужно таблицу интегралов читать непременно до таблицы умножения? Вы что, все свои курсы так выстраиваете? Хоть бы разок попытались наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 21:27 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #899916 писал(а):
Неуместно абсолютно. Ну почему Вам нужно таблицу интегралов читать непременно до таблицы умножения? Вы что, все свои курсы так выстраиваете? Хоть бы разок попытались наоборот.

сейчас я просто веду светскую беседу, я вообще в терминах курсов не мыслю, это скучно. Ваши притязания впихнуть всю активность на этом форуме в свои представления о педагогике несколько смешны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 21:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899920 писал(а):
я вообще в терминах курсов не мыслю,

Вы слишком многословны. Тут, например, целых три явно лишних слова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Oleg Zubelevich в сообщении #899902 писал(а):
виноват, а в неметрическом пространстве, в смысле в произвольном топологическом, бывает иначе?
Не бывает. Но в произвольном топологическом пространстве сходящихся последовательностей может оказаться слишком мало, чтобы охарактеризовать замкнутые множества, поэтому употребление последовательностей за пределами класса секвенциальных пространств (где такая характеризация возможна) является малополезным. Задача сформулирована для $\mathbb R^n$, которое является метрическим пространством, и имеет смысл в любом метрическим пространстве (после некоторого уточнения формулировки), поэтому я употребил слова "в метрическом пространстве".

Oleg Zubelevich в сообщении #899902 писал(а):
тут уместно вспомнить понятие коэрцитивность
? Это вот это, что-ли?
terminator-II в сообщении #332190 писал(а):
Коэрцитивность означает, что функция на банаховом пространстве стремится к плюс бесконечности, когда аргумент стремится к бесконечности.
Нет, этого не требуется.

Oleg Zubelevich в сообщении #899902 писал(а):
это как посмотреть, утверждение про два непересекающихся компакта верно в любом метрическом пространстве, а не только в $\mathbb{R}^n$
Указанная мной схема срабатывает в любом метрическом пространстве и доказывает следующее утверждение: если $(X,\rho)$ — метрическое пространство, $A,B\subset X$ — непустые дизъюнктные замкнутые множества, хотя бы одно из которых компактно, то $\rho(A,B)>0$. Даже если ограничиться $X=\mathbb R^n$, это утверждение является более сильным, чем сформулировано в стартовом сообщении (если иметь в виду компактность замкнутого ограниченного подмножества $\mathbb R^n$).

ewert в сообщении #899916 писал(а):
Ну эти-то изыски ещё зачем? Пусть она просто стремится к нулю как угодно.
Да пусть стремится как угодно, только Вам вместо $\frac 1m$ придётся писать $\varepsilon_m$ или что-нибудь подобное. Чем это лучше или хуже, я не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 22:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Someone в сообщении #899929 писал(а):
только Вам вместо $\frac 1m$ придётся писать $\varepsilon_m$ или что-нибудь подобное.

Не придётся. Вообще никаких эпсилонов не придётся. Задействована ведь последовательность расстояний, а она если стремится к нулю, то автоматически стремится к нему же и по подпоследовательности. Ибо она всего лишь числовая, т.е. из тех, которые к этому моменту уже многажды обсосаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 22:08 


10/02/11
6786
Someone в сообщении #899929 писал(а):
Нет, этого не требуется.

в $\mathbb{R}^m$ так можно доказывать, поскольку минимизирующая последовательность ограничена (иначе расстояние между точками росло бы -- соображения типа коэрцитивности), но да, после Вашего предложения, действительно не нужно.

-- Пн авг 25, 2014 22:11:17 --

вообще это замечание Someone
, самая хорошая вещь, которая была здесь сказана

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group