2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #899540 писал(а):
Нам нужно доказать, что расстояние между двумя замкнутыми ограниченными и непересекающимися множествами из $R^n$ не равно нулю. В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n \times R^n$.
Это ерунда. Если задано метрическое пространство $(X,\rho)$, то расстояние между двумя подмножествами $A,B\subseteq X$ определяется как $\rho(A,B)=\inf\{\rho(x,y):x\in A,y\in B\}$. Никакой метрики на $X\times X$ или на $A\times B$ вводить не требуется.

main.c в сообщении #899540 писал(а):
Есть у нас какое-то метрическое пространство $(X, \rho)$, введём на множестве $X \times X$ произвольную метрику $\rho_1$. Отображение $\rho: X \times X \to R$ будет непрерывным при любом выбранном $\rho_1$ :?:
Разумеется, нет. Нужно взять на $X\times X$ метрику, порождающую топологию произведения. Тем более, что Вы хотите использовать компактность $A$ и $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 13:36 


22/07/12
560
Someone в сообщении #899672 писал(а):
main.c в сообщении #899540 писал(а):
Нам нужно доказать, что расстояние между двумя замкнутыми ограниченными и непересекающимися множествами из $R^n$ не равно нулю. В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n \times R^n$.
Это ерунда. Если задано метрическое пространство $(X,\rho)$, то расстояние между двумя подмножествами $A,B\subseteq X$ определяется как $\rho(A,B)=\inf\{\rho(x,y):x\in A,y\in B\}$. Никакой метрики на $X\times X$ или на $A\times B$ вводить не требуется.

Я веду к тому, что если не вводить метрики на $X\times X$, то говорить о непрерывности $\rho: X \times X \to R$ нельзя, разве не так? А доказательство искомого утверждения как раз и опирается на то, что $\rho: A \times B \to R$ непрерывна. Вот именно этот момент меня смущает. И ещё у меня там опечатка, извиняюсь, я хотел написать: "В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n$"

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 14:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #899692 писал(а):
В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n$

И даже более того -- подразумевается, что введена даже не метрика, а какая-либо норма. А какая именно -- не важно, т.к. все нормы эквивалентны. И, между прочим, ровно по этой же причине

main.c в сообщении #899538 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #899532 писал(а):
метрика в прямом произведении метрических пространств $(X,d_X)\times(Y,d_Y)$ вводится следующим образом $d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')$
Это я понимаю, можно много метрик ввести, опираясь на предыдущую, например можно ещё такую: $d((x,y),(x',y'))=\sqrt{d_X(x,x')^2+d_Y(y,y')^2}$. Вопрос в другом. Мы вввели конкретную метрику, разве мы не теряем общности?

-- этот вопрос абсолютно празден (хотя и не только по этой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #899692 писал(а):
Я веду к тому, что если не вводить метрики на $X\times X$, то говорить о непрерывности $\rho: X \times X \to R$ нельзя, разве не так?
Если Вам хочется использовать эту непрерывность, то метрику нужно ввести. Возьмите любую метрику, которая порождает топологию произведения. Если функция $\rho$ непрерывна в какой-нибудь одной такой метрике, то она будет непрерывна и в любой другой такой метрике, поскольку непрерывность — топологический инвариант.
Но при желании можно обойтись без этой непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 14:22 


22/07/12
560
Someone в сообщении #899715 писал(а):
main.c в сообщении #899692 писал(а):
Я веду к тому, что если не вводить метрики на $X\times X$, то говорить о непрерывности $\rho: X \times X \to R$ нельзя, разве не так?
Если Вам хочется использовать эту непрерывность, то метрику нужно ввести. Возьмите любую метрику, которая порождает топологию произведения. Если функция $\rho$ непрерывна в какой-нибудь одной такой метрике, то она будет непрерывна и в любой другой такой метрике, поскольку непрерывность — топологический инвариант.
Но при желании можно обойтись без этой непрерывности.

Вот, огромное спасибо за разъяснения. И да, у меня есть желание обойтись лишь тем, что дано, не вводя никаких допольнительных метрик. Не подскажете, как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #899718 писал(а):
И да, у меня есть желание обойтись лишь тем, что дано, не вводя никаких допольнительных метрик. Не подскажете, как это сделать?
Использовать теорему Больцано — Вейерштрасса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 14:47 


22/07/12
560
Someone в сообщении #899725 писал(а):
main.c в сообщении #899718 писал(а):
И да, у меня есть желание обойтись лишь тем, что дано, не вводя никаких допольнительных метрик. Не подскажете, как это сделать?
Использовать теорему Больцано — Вейерштрасса.

Да, я помню эту теорему, но причём здесь она? Я рассуждаю так. Пусть расстояние равно нулю, тогда существует точка $a \in R^n$ являющаяся граничной точкой обоих множеств, а так как они замкнуты, то она является их общей точкой. Вот только доказать, что такая точка существует у меня не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 15:07 


10/02/11
6786
Есть два компакта $A,B$. Пусть $d(x_n,y_n)\to inf,\quad \{x_n\}\subseteq A,\quad \{y_n\}\subseteq B$ . Выделим сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_j}\}$ а потом еще выделим сходящуюся подпоследовательность из последовательности $\{y_{n_j}\}$, скажем $y_{n_{j_{s}}}$. Рассмотрим $d(x_{n_{j_{s}}},y_{n_{j_{s}}})$
только непрерывность метрики всеравно придется использовать, даже если это явно и не оговаривать

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Oleg Zubelevich в сообщении #899736 писал(а):
Есть два компакта $A,B$. Пусть $d(x_n,y_n)\to inf,\quad \{x_n\}\subseteq A,\quad \{y_n\}\subseteq B$ . Выделим сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_j}\}$ а а потом еще выделим сходящуюся подпоследовательность из последовательности $\{y_{n_j}\}$
Поскольку по предположению $inf=0$, последовательность $\{y_{n_j}\}$ автоматически оказывается сходящейся. Но если доказывать несколько другое утверждение, то вторую подпоследовательность тоже нужно выбирать.
Вообще, здесь ограниченность достаточно требовать только для одного множества (например, для $A$).

Oleg Zubelevich в сообщении #899747 писал(а):
только непрерывность метрики всеравно придется использовать
По-моему, достаточно аксиом метрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 15:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #899747 писал(а):
только непрерывность метрики всеравно придется использовать,

Не придётся: неравенство треугольника не называется непрерывностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 15:14 


10/02/11
6786
Someone в сообщении #899749 писал(а):
Поскольку по предположению
$inf=0$,

ну я таких предположений не делал, я рассуждать от противного не предлагал

-- Пн авг 25, 2014 15:18:42 --

Someone в сообщении #899749 писал(а):
По-моему, достаточно аксиом метрики.

разумеется для доказательства непрерывности метрики, достаточно аксиом метрики

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 15:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #899753 писал(а):
разумеется для доказательства непрерывности метрики, достаточно аксиом метрики

Разумеется. Просто непрерывность метрики -- вопрос отдельный, и здесь она сама по себе не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 15:44 


10/02/11
6786
ну попробуйте решить задачу, не сделав ни одного утверждения вида $x_n\to x\Longrightarrow d(x_n,y)\to d(x,y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 16:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$d(A,B)\leqslant d(x,y)\leqslant d(x_n,y_n)+d(x_n,x)+d(y_n,y)\to d(A,B)$

Чудес ведь не бывает: раз непрерывность сама по себе мгновенно следует из неравенства треугольника, то и доказываемое утверждение -- аналогично. А тогда зачем непрерывность?

-- Пн авг 25, 2014 17:11:08 --

Oleg Zubelevich в сообщении #899785 писал(а):
что такое $x_n,y_n$?

Oleg Zubelevich в сообщении #899768 писал(а):
$x_n\to x\Longrightarrow d(x_n,y)\to d(x,y)$

про игреки угадайте сами

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутое ограниченное множество.
Сообщение25.08.2014, 16:45 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #899781 писал(а):
Чудес ведь не бывает: раз непрерывность сама по себе мгновенно следует из неравенства треугольника, то и доказываемое утверждение -- аналогично. А тогда зачем непрерывность?

не так надо аргументировать.
ewert в сообщении #899781 писал(а):
$d(A,B)\leqslant d(x,y)\leqslant d(x_n,y_n)+d(x_n,x)+d(y_n,y)\to d(A,B)$

Написано следующее: коль скоро минимизирующая последовательность $(x_n,y_n)$ сходится к $(x,y)$ то $d(x_n,y_n)\to d(x,y).$
Теперь надо рассказать, что это еще не есть непрерывность нормы, поскольку предельный переход совершен лишь на минимизирующей последовательности и в одной единственной точке. Вот это будет сильно. А потом еще наставить двоек тем, кто вместо этого сошлется на непрерывность нормы. Вот это будет настоящая "методика преподавания".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group