2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение23.08.2014, 11:15 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Требуется решить операционным методом задачи Коши для дифуров со своеобразными правыми частями:
$$\frac{e^{kt}}{b + e^t}, \quad \frac{\sin 2kt}{b + \sin^2kt}, \quad \frac{te^{\alpha t}}{at^2+bt+c}.$$
Например, я пытаюсь найти преобразование Лапласа от $\frac{e^{kt}}{b + e^t}$ по определению - получается трансцендентная функция. С остальными двумя, кажется, будет то же самое.

Подозреваю, что есть приём, которого я не знаю, позволяющий обойти эти трансцендентные функции (парочку уравнений я решил не операционным методом, а просто - в ответе ничего трансцендентного, логарифмы да арктангенсы). Какой бы это был приём и где его искать?

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
popolznev в сообщении #898659 писал(а):
я пытаюсь найти преобразование Лапласа от $\frac{e^{kt}}{b + e^t}$ по определению - получается трансцендентная функция.

Очень интересно! И показать можете?

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 17:01 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Утундрий в сообщении #898955 писал(а):
Очень интересно! И показать можете?

Заговорился: не "трансцендентная", а спецфункция. Логарифм же тоже трансцендентная. Lerch Phi там выходит:
$$\int\limits_0^\infty \frac{e^{kt}}{b+e^t} \cdot e^{-pt}\,dt = \int\limits_0^\infty \frac{e^{(k-p-1)t}}{b+e^t}\,e^tdt = \int\limits_0^\infty \frac{e^{(k-p-1)t}}{b+e^t}\,d(e^t) = \int\limits_1^\infty \frac{u^q}{b+u}\,du = ...$$

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Имелось в виду показать целиком. Не только с правой, но и с левой частью, да то решение "просто так", которое с логарифмами да арктангенсами тоже посмотреть было бы любопытственно. А то пока что в первом примере наблюдается бета-функция и не совсем понятно, как оттель вылезет логарифм (или арктангенс)

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 21:54 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Утундрий в сообщении #899451 писал(а):
Имелось в виду показать целиком. Не только с правой, но и с левой частью

Для примера - одно из уравнений такое:
$$y''-3y'+2y = \frac{e^{3t}}{4+e^t}$$
И начальные условия:
$$y(0)=1, y'(0)=0.$$
В левой части преобразование Лапласа даёт понятно что:
$$(p^2-3p+2)Y(p)-p+3.$$

А решение обычным способом, с методом неопределенных коэффициентов, дает такой ответ:
$$(4 \ln(4+e^t)+3-6\ln 5) e^t + (\ln(4+e^t )-2+\ln 5)e^{2t}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Простите, а вы что, совсем не ощущаете разницы между $\frac{e^{kt}}{b + e^t}$ и $\frac{e^{3t}}{4+e^t}$? Вас не посещала мысль, что второе, быть может, преобразуется существенно проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 22:17 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Утундрий в сообщении #899483 писал(а):
Простите, а вы что, совсем не ощущаете разницы (...)? Вас не посещала мысль (...)?

Да, забыл предупредить, что я олигофрен.

Мне представляется, что в том интеграле, который я расписывал двумя сообщениями выше, числитель плохой из-за $p$, так что конкретные значения $k,b$ ни при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
popolznev в сообщении #899497 писал(а):
забыл предупредить, что я олигофрен.
Я об этом как-то не подумал. Спасибо, данная версия многое объясняет.

popolznev в сообщении #899497 писал(а):
Мне представляется, что... конкретные значения $k,b$ ни при чем.
Неправильно вам представляется. Конкретные значения коэффициентов очень даже причём.

А то получается известный анекдот про студента, который попросил профессора сначала найти отображение полуплоскости на внутренность квадрата, потом шестиугольника, потом $n$-угольника... И в результате заявил ему "Спасибо, профессор! Благодаря вашим формулам мне, путём предельного перехода, удалось получить отображение полуплоскости на внутренность круга!"

P.S. В анекдоте не сказано, убил ли его профессор, но вероятность такого исхода весьма велика.

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 00:32 
Аватара пользователя


14/10/13
339
popolznev в сообщении #899497 писал(а):
Неправильно вам представляется. Конкретные значения коэффициентов очень даже причём.

Конкретно:
$$\int\limits_0^\infty \frac{e^{3t}}{4+e^t} \cdot e^{-pt}\,dt = \int\limits_0^\infty \frac{e^{(2-p)t}}{4+e^t}\,e^tdt = \int\limits_0^\infty \frac{e^{(2-p)t}}{4+e^t}\,d(e^t) = \int\limits_1^\infty \frac{u^q}{4+u}\,du = ...$$

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 12:26 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Можно попробовать разложить $\dfrac 1{4+e^t}$ в ряд, найти изображение для каждого члена ряда. Возможно в окончательном ответе ряд удастся свернуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 13:32 
Аватара пользователя


14/10/13
339
mihiv в сообщении #899664 писал(а):
Можно попробовать разложить $\dfrac 1{4+e^t}$ в ряд, найти изображение для каждого члена ряда. Возможно в окончательном ответе ряд удастся свернуть.
Дак спецфункция же получается, и без ряда, и с рядом. Мне представляется, что как-то надо подключать левую часть уравнения и, не находя преобразование Лапласа от правой части, сразу заставить его взаимодействовать с левой.

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 13:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Утундрий писал(а):
Неправильно вам представляется. Конкретные значения коэффициентов очень даже причём.

Не коэффициентов, а показателей. Но поскольку popolznev Ваших подсказок не понимает, позволю себе заметить, что $\frac{x^3}{a+x}$ например при интегрировании упрощают до $Ax^2+Bx+C + \frac{D}{a+x}$ и эта идея вполне работает и здесь, после замены $x=e^t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 13:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
popolznev в сообщении #899691 писал(а):
Мне представляется, что как-то надо подключать левую часть уравнения и, не находя преобразование Лапласа от правой части, сразу заставить его взаимодействовать с левой.

Ну так и заставьте. Что можно сказать, скажем, про $\frac1{p-1}\cdot(Lf)(p)$, исходя из теорем затухания и интегрирования оригинала?...

Но вообще это, конечно, издевательство -- решать такие уравнения операционным методом. Для этого есть метод вариации произвольных постоянных (а не неопределённых коэффициентов, кстати сказать).

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 14:10 
Аватара пользователя


14/10/13
339
ewert в сообщении #899700 писал(а):
Ну так и заставьте. Что можно сказать, скажем, про $\frac1{p-1}\cdot(Lf)(p)$, исходя из теорем затухания и интегрирования оригинала?...

Да, вот что-нибудь такое надо попробовать.

ewert в сообщении #899700 писал(а):
Но вообще это, конечно, издевательство -- решать такие уравнения операционным методом. Для этого есть метод вариации произвольных постоянных (а не неопределённых коэффициентов, кстати сказать).

Да, вариации постоянных, конечно. Я совершенно согласен с вами насчет издевательства, но так поставлена учебная задача.

-- 25.08.2014, 15:13 --

Red_Herring в сообщении #899694 писал(а):
Не коэффициентов, а показателей. Но поскольку popolznev Ваших подсказок не понимает, позволю себе заметить, что $\frac{x^3}{a+x}$ например при интегрировании упрощают до $Ax^2+Bx+C + \frac{D}{a+x}$ и эта идея вполне работает и здесь, после замены $x=e^t$.

Либо я беспримерно туплю, либо одно из двух. Что делать с множителем $e^{-pt}$? Там же $p$ произвольное.

 Профиль  
                  
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 15:36 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
popolznev
По формулам Дюамеля попробуйте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group