2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение21.08.2014, 20:46 


21/08/14
70
Имеем экспериментальные точки - набор данных $\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$
Аппроксимируем эти точки ортогональными многочленами Чебышева со скалярным произведением вида $$(T_k,T_m)=\int\limits_{-1}^{1} T_k(x)T_m(x)w(x)dx$$, где $w(x)$ - весовая функция.

В дискретном случае имеем такой вид скаляного произведения: $$(T_k,T_m)=\sum\limits_{i=0}^{N-1}T_k(x_i)T_m(x_i)w(x_i)$$Отображаем набор данных на интервал ортогональности многочленов Чебышава: $[x_0, x_{N-1}] \rightarrow [-1, 1]$.

Вопрос: Какой должна быть весовая функция ? Ведь классическая весовая фунцкия $w(x_i) = \frac{1}{\sqrt{ 1 - x_i^2}}$ на концах $[-1,1]$ обращается в бесконечность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.08.2014, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5501
Москва
А почему именно такая весовая функция?
Для дискретных полиномов Чебышева $w(x)=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.08.2014, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12918
Москва
ktoto в сообщении #898201 писал(а):
Имеем экспериментальные точки - набор данных $\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$
Аппроксимируем эти точки ортогональными многочленами Чебышева ...
Какая-то "нестандартная" постановка задачи. Как можно аппроксимировать набор точек на оси многочленами? Зачем это нужно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.08.2014, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5501
Москва
Подозреваю, что это сокращённое выражение от "Имеется набор точек $x_i$ и измеренные значения функции f(x) в этих точках, по которым надо аппроксимировать функцию".

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.08.2014, 15:56 


21/08/14
70
Brukvalub в сообщении #898351 писал(а):
Какая-то "нестандартная" постановка задачи. Как можно аппроксимировать набор точек на оси многочленами? Зачем это нужно?

Дейстивительно я неверно написал, $\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$ - это область определения аппроксимируемой функции, в дискретном случае, а не сама функция.

Евгений Машеров в сообщении #898341 писал(а):
А почему именно такая весовая функция?

По аналогии с непрерывным случаем, $\{x_i\}_{i=0}^{N-1}$ при $N \rightarrow \infty$ сумма переходит в интеграл (непрерывный случай), и это никак не должно менять характер весовой функции.

Евгений Машеров в сообщении #898341 писал(а):
Для дискретных полиномов Чебышева $w(x)=1$.

А откуда берётся, что весовая функция меняется на $w(x)=1$ для дискретного случая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.08.2014, 17:26 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
ktoto в сообщении #898201 писал(а):
Аппроксимируем эти точки ортогональными многочленами Чебышева со скалярным произведением вида $$(T_k,T_m)=\int\limits_{-1}^{1} T_k(x)T_m(x)w(x)dx$$, где $w(x)$ - весовая функция.

ktoto в сообщении #898201 писал(а):
Вопрос: Какой должна быть весовая функция ?

ktoto. Я вообще вопрос не понял. Вы вводите для своих целей весовую функцию. Зачем? Какие соображения натолкнули вас на то, что там вообще должна быть весовая функция? И у нас спрашиваете, какой она должна быть? Т.е. вы у нас хотите спросить, какой должна быть постановка задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.08.2014, 17:34 


21/08/14
70
мат-ламер в сообщении #898413 писал(а):
ktoto. Я вообще вопрос не понял. Вы вводите для своих целей весовую функцию? Зачем? Какие соображения натолкнули вас на то, что там вообще должна быть весовая функция? И у нас спрашиваете, какой она должна быть? Т.е. вы у нас хотите спросить, какой должна быть постановка задачи?

Мне нужно только чтобы скалярное произведение давало 0, для ортогональных многочленов. Как я понимаю для многочленов Чебышева в скалярное произведение входит весовая функция.
Изображение

Евгений Машеров в сообщении #898341 писал(а):
Для дискретных полиномов Чебышева $w(x)=1$.
Действительно нашёл вот такую вещь в английской Википедии, интересно как они это получили из непрерывного случая:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение23.08.2014, 00:34 
Заслуженный участник


15/05/05
3353
USA
ktoto,
В этом сообщении: http://dxdy.ru/post877880.html#p877880
упоминается книга Румшинского. В этой книге описывается алгоритм построения интерполяционного полинома с помощью "ортогональных полиномов Чебышева на множестве точек".

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение23.08.2014, 06:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5501
Москва
Весовую функцию можно вводить достаточно произвольно и строить для неё соответствующие системы ортогональных полиномов. Как правило, её вводят в силу практической потребности (неравноточности измерений или разной степени интереса к разным областям данных), но есть ситуации, когда она появляется в ходе построения системы полиномов

(Оффтоп)

Шамо приполжло!

как то вышло у Чебышева, с выражением полиномов через косинусы арккосинусов
$T_n(x)=\cos(narccos(x))$
и если она не слишком противоречит практической потребности и удобна математически - тоже употребительна.
Для полиномов, заданных на дискретном множестве точек, весовая функция обычно единица (если нет иной практической потребности).
Такие полиномы не совпадают с полиномами Чебышева на непрерывном отрезке, хотя тоже именуются Чебышева (а иногда - Грама).
Использование взамен их непрерывных п.Ч. приведёт к тому, что они уже на заданном множестве точек ортогональны не будут, и это может породить грубые ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение30.08.2014, 01:08 


21/08/14
70
Yuri Gendelman в сообщении #898592 писал(а):
В этом сообщении: post877880.html#p877880

упоминается книга Румшинского. В этой книге описывается алгоритм построения интерполяционного полинома с помощью "ортогональных полиномов Чебышева на множестве точек".

Спасибо, отличная книга. Однако там не даётся полный вывод формул, а формулы приводятся как данность, а без вывода ценность многочленов Чебышева для меня сомнительна.

Евгений Машеров в сообщении #898620 писал(а):
Весовую функцию можно вводить достаточно произвольно и строить для неё соответствующие системы ортогональных полиномов. Как правило, её вводят в силу практической потребности (неравноточности измерений или разной степени интереса к разным областям данных), но есть ситуации, когда она появляется в ходе построения системы полиномов

Странная какая-то история с весовой функцией для дискретных полиномов Чебышева 1-го рода. Нашёл единственный вывод в книге "
Chebyshev Polynomials - Author: J.C. Mason, David C. Handscomb стр.85", причём для дискретных полиномов 2-го рода весовая функция присутствует в сумме.
В итоге, решил остановиться на полиномах Лежандра, на первый взгляд, с ними всё просто и понятно(относительно МНК), или на крайний случай Чебышев 2-го рода разобран полностью.
Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение30.08.2014, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5501
Москва
Чисто прикладной взгляд:
Если веса не вводятся умышленно (для компенсации неравноточности, для выделения "зоны особого внимания", по каким-то иным соображениям), то надо использовать полиномы, ортогональные при единичных весах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение30.08.2014, 21:27 
Заслуженный участник


15/05/05
3353
USA
ktoto в сообщении #901942 писал(а):
Yuri Gendelman в сообщении #898592 писал(а):
...упоминается книга Румшинского. ... "ортогональных полиномов Чебышева на множестве точек".
Однако там не даётся полный вывод формул
...
Нашёл единственный вывод в книге "Chebyshev Polynomials - Author: J.C. Mason, David C. Handscomb стр.85",...

1. В книге Mason&Handscomb речь идет о классических полиномах Чебышева - непрерывных функциях, заданных на интервале [-1, 1]. На стр. 85 рассматриваются именно эти полиномы, хоть и на дискретном наборе точек. Но вид этих полиномов НЕ ЗАВИСИТ от заданного набора точек.

2. В книге Румшинского рассматриваются другие полиномы. Их вид зависит от конкретного набора точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение20.10.2014, 00:14 


21/08/14
70
Yuri Gendelman в сообщении #902204 писал(а):
2. В книге Румшинского рассматриваются другие полиномы. Их вид зависит от конкретного набора точек.

Да, формула в книге Румшинского 3.2-19 (рекуррентное соотношение) стр. 68.
Вы не могли бы разъяснить,
Почему коэффициент при старшей степени многочлена принимается равным единицей?
Ведь в общем случае этот коэффициент зависит от номера(степени) многочлена.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение20.10.2014, 04:57 
Заслуженный участник


16/02/13
2866
Владивосток
ktoto в сообщении #898201 писал(а):
В дискретном случае имеем такой вид скаляного произведения: $(T_k,T_m)=\sum\limits_{i=0}^{N-1}T_k(x_i)T_m(x_i)w(x_i)$
Что-то мне тут не нравится. Таки да, многочлены Чебышева ортогональны на отрезке $[-1,1]$, но отсюда не следует ортогональность на любом, произвольном отрезке. Разумеется, можно растянуть и нормировать, но это будут растянутые в обоих направлениях многочлены Чебышева. Некая разница наличествует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение20.10.2014, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5501
Москва
ktoto в сообщении #921083 писал(а):
Yuri Gendelman в сообщении #902204 писал(а):
2. В книге Румшинского рассматриваются другие полиномы. Их вид зависит от конкретного набора точек.

Да, формула в книге Румшинского 3.2-19 (рекуррентное соотношение) стр. 68.
Вы не могли бы разъяснить,
Почему коэффициент при старшей степени многочлена принимается равным единицей?
Ведь в общем случае этот коэффициент зависит от номера(степени) многочлена.
Изображение


Для определённости. И только. Жизнь упрощается.
И, кстати, если взглянуть на приведенную Вами на рисунке формулу - он единица по построению.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group