2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение20.10.2014, 22:38 


21/08/14
70
Евгений Машеров в сообщении #921137 писал(а):
Для определённости. И только. Жизнь упрощается.
И, кстати, если взглянуть на приведенную Вами на рисунке формулу - он единица по построению.
Да жизнь действительно упрощается, с коэффициентом $1$ при $x$, но какие достаточные условия для того чтобы там была именно единица ведь:
рекуррентное соотношение для ортогональных многочленов имеет вид:

$p_{n+1}(x) = (A_n x + B_n) p_n(x) - C_n p_{n-1}(x)$


Если что, обсуждаем уже тоже самое в соседней ветке topic88629.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение21.10.2014, 06:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5544
Москва
Положить $A_n$ равным единице.

(Оффтоп)

Поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение21.10.2014, 14:11 


21/08/14
70
Евгений Машеров в сообщении #921437 писал(а):
Положить $A_n$ равным единице.

Было бы здорово если так, но в википедии пишут, что нужно выбрать правильную нормировку.
Изображение

Ортогональные многочлены. По рекуррентным формулам - плохо что без доказательства.

Может быть посмотрите, вот здесь попытка нормировки: post921522.html#p921522

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение21.10.2014, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5544
Москва
Очень медленно и траурно. Если многочлен степени n имеет коэффициент при старшем члене равный единице, то, вычисляя многочлен степени (n+1) по приведенной формуле, член степени (n+1) многочлена этой степени мы получим, умножив старший член многочлена степени n на x, так что коэффициент при нём будет единица. Входящие в формулу коэффициенты альфа и гамма на это не влияют, альфа может изменить лишь коэффициенты при членах степени n и менее, а гамма - (n-1) и менее.
Если начинать с многочлена $p_0=1$ или с $p_1=x$, то равенство единице старших коэффициентов у всех, вычисленных по данной формуле, может быть доказано строго по индукции (хотя, по-моему, это слишком крупный калибр, и данный факт очевиден - но если нужна гиперстрогость...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.10.2014, 22:29 


21/08/14
70
iifat в
сообщении #921113
писал(а):
ktoto в сообщении #898201 писал(а):

писал:
В дискретном случае имеем такой вид скаляного произведения: $(T_k,T_m)=\sum\limits_{i=0}^{N-1}T_k(x_i)T_m(x_i)w(x_i)$
Что-то мне тут не нравится. Таки да, многочлены Чебышева ортогональны на отрезке $[-1,1]$, но отсюда не следует ортогональность на любом, произвольном отрезке. Разумеется, можно растянуть и нормировать, но это будут растянутые в обоих направлениях многочлены Чебышева. Некая разница наличествует.

В приведённом выше скалярном произведение, есть такая штука как вес, она как раз и принуждает даже положительные на всём интервале функции быть ортогональными. Хотя конечно лучше сделать функцию веса ближе к поведению классических ортогональных многочленов и например предварительно отразить интервал ортогональности.
$\\  \\ l:[x_1, x_n] \rightarrow [-1, 1]$

Однако вес в дискретном виде, как я понимаю, понадобится в любом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.10.2014, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31275
ktoto в сообщении #922119 писал(а):
она как раз и принуждает даже положительные на всём интервале функции быть ортогональными.

Она никак не может их принудить. Т.е. я понимаю, конечно, что тут не более чем свободный полёт мысли; но даже и в свободном полёте -- неотрицательные функции ну никак не могут оказаться ортогональными. Это для них попросту неприлично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация набора данных многочленами Чебышева
Сообщение22.10.2014, 23:02 


21/08/14
70
ewert в сообщении #922136 писал(а):
Она никак не может их принудить. Т.е. я понимаю, конечно, что тут не более чем свободный полёт мысли; но даже и в свободном полёте -- неотрицательные функции ну никак не могут оказаться ортогональными. Это для них попросту неприлично.

Без веса не могут, тут я перегнул палку согласен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group