2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 ВТФ от MrAlexander
Сообщение11.07.2014, 17:02 


16/03/14
12
 i  Deggial: Выделено из темы Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$

Уважаемый Феликс Шмидель!
Похвально и удивительно, как Вы настойчиво пытаетесь найти решение доказательство ВТФ. Наверно, Ферма ошибся, что не отменяет желание покопаться в этой с виду простой, но очень сложной задачи. Внесу свои 5 грамм. Мне кажется, что кое-какие результаты можно получить использую формулу Варинга для суммы n-ых степеней корней многочлена (не путать с проблемой Варинга). Если в качестве корней взять a, b, и c, то сумму $a^n+b^n+c^n$ можно выразить с помощью формулы Варинга через 3 соответствующих симметричных многочлена $a+b+c$, $a*b+b*c+c*a$, $a*b*c$, но это мало что дает. Гораздо интереснее получаем результат, если взять в качестве корней $a+b+c$, $-a$, $-b$ и $-c$, то получаем,что симметричный многочлен первой степени равен 0, а симметричный многочлен 3-й степени равен $(a+b)*(b+c)*(c+a)$. Еще интересный результат, если в качестве корней взять $a^k$, $b^k$, $c^k$ (считаем $a^k+b^k+c^k=0$), то сумма n-ых степеней выражается через симметричные многочлены $a^k*b^k+b^k*c^k+c^k*a^k$ и $a^k*b^k*c^k$. В частности для степеней n, не являющихся кратными числу 3, сумма степеней делится на многочлен 2-й степени $a^k*b^k+b^k*c^k+c^k*a^k$, для нечетных степеней делится на $a^k*b^k*c^k$. В частности для пятой степени $a+b+c$ и $a*b+b*c+c*a$ имеют общие делители, и соответственно общий делитель с $a^5*b^5+b^5*c^5+c^5*a^5$, который может иметь только вид $p=6*i+1$. Отсюда можно получить противоречие для ВТФ для степени 5.

 i  Lia: MrAlexander, не злоупотребляйте знаком умножения там, где в нем нет необходимости, тем более в таком виде. Правильный набор \cdot

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение12.07.2014, 13:49 


31/03/06
1384
Уважаемый MrAlexander!

Я согласен с Вашими рассуждениями.

MrAlexander в сообщении #886583 писал(а):
Отсюда можно получить противоречие для ВТФ для степени 5.


Каким образом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение16.08.2014, 20:06 


16/03/14
12
Уважаемый Феликс Шмидель!
Возможно, результат получиться, если применить метод деления полинома на полином меньшей степени для нахождения их общего корня. Первый полином $x^4-sx^2-dx-L=0$, где $s$ , $d$ и $L$ симметрические полиномы второй, третьей и четвертой степени для корней $a+b+c$, $-a$, $-b$ и $-c$. Второй полином следует из равенства $a^5+b^5+c^5=0$, а именно $x^5=5ds$. Общим корнем для них является сумма $a+b+c$. Последовательно произведя деления полинома 5 степени на полином 4, получим в остатке полином 3 степени с тем же корнем. Далее делим полинома 4 степени на полином 3, получим в остатке полином 2 степени с тем же корнем, и так далее. В результате, сумма $a+b+c$ будет выражена через дробно-степенную функцию от переменных $s$ , $d$ и $L$. Вероятно, поиск общих делителей для числителя и знаменателя этой дроби приведет к противоречию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение17.08.2014, 09:03 


16/03/14
12
Уважаемый Феликс Шмидель!
Дополню результатом для $n=3$. Первый полином $x^4-sx^2-dx-l=0$, где $s$ , $d$ и $l$ симметрические полиномы второй, третьей и четвертой степени для корней $a+b+c$, $-a$, $-b$ и $-c$. Второй полином $x^3=3d$. Общим корнем для них является сумма $a+b+c$. Последовательно произведя деления полинома 4 степени на полином 3, получим в остатке полином 2 степени с тем же корнем. Далее делим полинома 3 степени на полином 2, получим в остатке выражение для суммы $a+b+c=d(3s^2+2l)/(4d^2-sl)$. Если числитель и знаменатель имеют общий делитель $p$, который не является делителем $d$, то имеем $3s^2+2l=0$ и $4d^2-sl=0$ по модулю $p$. Пронормируем выражения по соответствующим степеням $a+b+c$. Получим $3S^2+2L=0$ и $4D^2-SL=0$. Кроме того, $S+D+L=1$ $3D=1$. Далее из 2-х последних $3S+3L=2$, а из $3S^2+2L=0$ получим $(3S-2)^2=0$, отсюда $3S=2$ и $3L=0$, что ведет к $3S^2=0$ и $3S=0$. Получили противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение18.08.2014, 21:05 


31/03/06
1384
Уважаемый MrAlexander!

Случай $n=3$ проще, поэтому остановимся пока на нём.
Я понял почему $(a+b+c)^3=3 d$, но почему я должен доказывать то, что Вы уже доказали?
Не могли бы Вы доказать, что $a+b+c=d(3s^2+2l)/(4d^2-sl)$?
Сначала покажите чему равен полином второй степени, который в остатке.
Далее покажите тождество, которое получается в результате деления полинома третьей степени на полином второй степени, из которого следует, что остаток равен $x-d(3s^2+2l)/(4d^2-sl)$.
Что значит "пронормируем выражения по степеням"?
Определите символы $S$ и $D$, и докажите, что $3S^2+2L=0$ и $4D^2-SL=0$. Исправьте выражение $S+D+L=1$ $3D=1$, потому что непонятно, это два выражения, которые должны быть отделены запятой или что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение19.08.2014, 15:33 


16/03/14
12
Уважаемый Феликс Шмидель!

Рассмотрим подробно случай $n=3$.

Возмем первое уравнение с полином 4-степени относительно переменной $x$: $x^4-sx^2-dx-l=0$,
где $s$ , $d$ и $l$ симметрические полиномы второй, третьей и четвертой степени для корней $a+b+c$, $-a$, $-b$ и $-c$, и соответственно после упрощения $s=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$, $d=(a+b)(b+c)(c+a)$ и $l=abc(a+b+c)$.

Второе уравнение с полином третьей степени относительно переменной $x$: $x^3=3d$. Следует из формулы Варинга для суммы $n$-степеней корней первого уравнения для $n=3$: $(a+b+c)^3+(-a)^3+(-b)^3+(-c)^3=3d$
и равенства $a^3+b^3+c^3=0$. Общим корнем для двух уравнений является сумма $a+b+c$.

Деление полинома 4 степени на полином 3, получим в остатке полином 2 степени с тем же корнем.

Можно выполнить, например, столбиком (что-то у меня столбики разъезжаются):

$x^4-sx^2-dx-l$ | $x^3-3d$
- -----------------
$x^4      -      3dx$ | $x$
---------------------
$-sx^2+2dx-l$


$x^4-sx^2-dx-l=x(x^3-3d) -sx^2+2dx-l$, частное $x$, остаток $-sx^2+2dx-l$,
$a+b+c$ является корнем последнего квадратного уравнения.

Далее аналогично
$x^3             -   3d$ | $-sx^2+2dx-l$
$-$ -----------------
$x^3 -2dx^2/s+lx/s$ | $-x/s-2d/s^2$
----------------------------
$2dx^2/s-lx/s-3d$
-
$2dx^2/s-4d^2x/s^2+2dl/s^2$
------------------------------------------
$x(4d^2/s^2-l/s) - d(3+2l/s^2)$


$x^3-3d=(-x/s-2d/s^2)(sx^2+2dx-l)+x(4d^2/s^2-l/s) - d(3+2l/s^2)$, и $x(4d^2/s^2-l/s) - d(3+2l/s^2)$ - линейный остаток, $a+b+c$ является также корнем остатка от деления.

Таким образом, $a+b+c=d(3+2l/s^2)/(4d^2/s^2-l/s)$ или $a+b+c=d(3s^2+2l)/(4d^2-sl)$.
Дробь справа должна быть сократимой, так как слева целое число.

Пусть числитель и знаменатель имеют хотя бы один общий делитель простое число $p$, которое не является делителем $d$, и соответственно не является делителем $a+b+c$, то имеем $3s^2+2l=0$ и $4d^2-sl=0$ по модулю $p$.

Поделим числитель на $(a+b+c)^4$, а знаменатель на $(a+b+c)^6$, получим $3S^2+2L=0$ и $4D^2-SL=0$,
где $S=s/(a+b+c)^2$, $D=d/(a+b+c)^3$, $L=l/(a+b+c)^4$. Деление на $(a+b+c)$, конечно, по модулю $p$.

Аналогично поступим с первым и вторым уравнениями, подставив в уравнения корень $a+b+c$, получим $1-S-D-L=0$ и $1 - 3D=0$ или $S+D+L=1$ и $3D=1$.
Далее из 2-х последних $3S+3L=2$, а из $3S^2+2L=0$ и $3L=2-3S$ получим $9S^2+ 4 - 6S=0$ или $(3S-2)^2=0$.
Итак $(3S-2)^2=0$, отсюда $3S=2$.

Из $3S+3L=2$ и $3S=2$ получим $3L=0$. Если $3L=0$, то из $3S^2+2L=0$ получим $3S^2=0$ и $3S=0$.
Получено противоречие - одновременно $3S=0$ и $3S=2$ по модулю $p$ (очевидно, что $p$ не равно 2 или 3, так как среди делителей $d$ есть обязательно 2 и 3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение19.08.2014, 17:27 


31/03/06
1384
Уважаемый MrAlexander!

Спасибо за ясное, и, с первого взгляда, строгое изложение.

Я нашёл здесь опечатку:

Цитата:
$x^3-3d=(-x/s-2d/s^2)(sx^2+2dx-l)+x(4d^2/s^2-l/s) - d(3+2l/s^2)$, и $x(4d^2/s^2-l/s) - d(3+2l/s^2)$


Должно быть:

Цитата:
$x^3-3d=(-x/s-2d/s^2)(-sx^2+2dx-l)+x(4d^2/s^2-l/s) - d(3+2l/s^2)$, и $x(4d^2/s^2-l/s) - d(3+2l/s^2)$


Кроме того знак $=$ следует в ряде мест заменить на $\equiv$.

Давайте проверять, надеюсь к нам присоединятся и другие участники.
Вы пишите:

Цитата:
Пусть числитель и знаменатель имеют хотя бы один общий делитель простое число $p$, которое не является делителем $d$, и соответственно не является делителем $a+b+c$


А почему они должны иметь такой делитель $p$? Почему все простые делители знаменателя не могут быть делителями $d$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение19.08.2014, 17:43 


16/03/14
12
Уважаемый Феликс Шмидель!

Спасибо внимательное и благожелательное рассмотрение вышеприведенного доказательства.
Да Вы правы, там есть опечатка. Наверно не обратил внимание, потому опечатка что не влияет на результат.

Вы пишите: "А почему они должны иметь такой делитель $p$? Почему все простые делители знаменателя не могут быть делителями $d$?".

Если взять противоположный вариант, все делители $3s^2+2l$ и $4d^2-sl$, являются делителями выражения $d$, то из знаменателя следует, что $s$ или $l$ имеют общий делитель с $d$.

Если это $l$, то из числителя следут, что и $s$ имеет общий делитель с $d$, и соответственно с $a+b+c$, а также с $a$ или $b$ или $c$ (изначально предполагается, что $a$, $b$ и $c$ взаимно просты).

Итак $s=(a+b+c)^2-ab-bc-ca$, если $s$, $(a+b+c)^2$ и например $a$ имеют общий делитель, то и $bc$ должен иметь этот делитель. Противоречие, так как нарушается взаимная проста $a$, $b$ и $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение19.08.2014, 18:22 


31/03/06
1384
Уважаемый MrAlexander!

Вы пишите:

Цитата:
Если это $l$, то из числителя следут, что и $s$ имеет общий делитель с $d$, и соответственно с $a+b+c$, а также с $a$ или $b$ или $c$ (изначально предполагается, что $a$, $b$ и $c$ взаимно просты).


Почему если $l$, $s$ и $d$ делятся на $p$, то $a b c$ должно делиться на $p$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение19.08.2014, 18:35 


16/03/14
12
Уважаемый Феликс Шмидель!

Вы пишите:
Цитата:
Почему если $l$, $s$ и $d$ делятся на $p$, то $a b c$ должно делиться на $p$?


Если $d$ делится на $p$, то на $p$ делится один из множителей $d$. Пуст это будет $b+c$, но тогда из делимости $a+b+c$ на $p$ следует, что на $p$ также делится и $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение19.08.2014, 19:26 


31/03/06
1384
Уважаемый MrAlexander!

Я предлагаю упростить Ваше доказательство, чтобы легче было проверять.

Проверим, что $(a+b+c)^3=3 d$.

Код:
d:=(a+b)*(b+c)*(c+a);
(a+b+c)^3-3*d;


Получим $a^3+b^3+c^3$.
Проверено.

Вы утверждаете, что $(a+b+c)(4d^2-sl)=d(3s^2+2l)$.
Оказывается, $(a+b+c)(4d^2-sl)-d(3s^2+2l)$ делится на $a^3+b^3+c^3$.
Давайте просто проверим это:

Код:
s:=a^2+b^2+c^2+a*b+b*c+c*a;
d:=(a+b)*(b+c)*(c+a);
l:=a*b*c*(a+b+c);
f:=(a+b+c)*(4*d^2-s*l)-d*(3*s^2+2*l);
f/(a^3+b^3+c^3);


Проверено.

-- Вт авг 19, 2014 19:56:08 --

Уважаемый MrAlexander!

Вы пишите:

Цитата:
Если взять противоположный вариант, все делители $3s^2+2l$ и $4d^2-sl$, являются делителями выражения $d$, то из знаменателя следует, что $s$ или $l$ имеют общий делитель с $d$.

Если это $l$, то из числителя следут, что и $s$ имеет общий делитель с $d$, и соответственно с $a+b+c$, а также с $a$ или $b$ или $c$ (изначально предполагается, что $a$, $b$ и $c$ взаимно просты).


Если $3s^2+2l$, $4d^2-sl$ и $d$ делятся на $3$, и $l$ делится на $3$, то из числителя не следует, что и $s$ делится на $3$.

Почему $4d^2-sl$ не может равняться произведению степеней $3$-х и $2$-ух?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение19.08.2014, 21:52 


31/03/06
1384
Уважаемый MrAlexander!

Я нашёл ошибку:

Цитата:
Получим $9S^2+ 4 - 6S \equiv0$ или $(3S-2)^2 \equiv 0$.


Но $(3S-2)^2=9S^2+ 4 - 12 S$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение20.08.2014, 09:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5625
Феликс Шмидель, Вам отделить сообщения MrAlexander в отдельную тему или так оставить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение20.08.2014, 09:47 


31/03/06
1384
Лучше отделить. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместный поиск доказательства ВТФ для $n=5$
Сообщение20.08.2014, 18:12 


16/03/14
12
Уважаемый Феликс Шмидель!

Спасибо за подсказку.

К сожалению, получилась детская ошибка, должно быть:
$9S^2-6S+4=(3S-1)^2+3$.

Из знаменателя получим аналогичное выражение:

$(3S-1)^2+3$ или $(3L-1)^2+3$ при $3S+3L=2$.

Система, по всей видимости, имеет решения для $p$ вида $6k+1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group