2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 #Р7.3# Дифференциальное уравнение (Рубаков 7.3)
Сообщение20.08.2014, 19:59 


24/07/14
138
Всем привет, ребята!
Рубаков "Классические калибровочные поля", глава 7, задача 3 (и задача 5 – второе уравнение).
Найти спектр собственных значений $\lambda$ и собственных функций $f_\lambda$ уравнения:
$$-f'' + f \mu ^2 \left(3 \th ^2\left(\frac{\mu  x}{\sqrt{2}}\right)-1\right)=\lambda  f$$
и точно такая же задача только с коэффициентом 1 вместо 3:
$$-f'' + f \mu ^2 \left(\th ^2\left(\frac{\mu  x}{\sqrt{2}}\right)-1\right)=\lambda  f$$
В первом случае все $\lambda$ должны оказаться неотрицательными.

Рассказываю какие были идеи.
1. Замена $f'=uf$. Получается уравнение 1-го порядка относительно $u$:
$$-u'-u^2+\mu ^2 u \left(3 \th\left(\frac{x \mu }{\sqrt{2}}\right)^2-1\right)=\Lambda  u$$
Mathematica решая его дает следующее:
$$u=\frac{e^{-x \left(\Lambda -2 \mu ^2\right)-3 \sqrt{2} \mu  \th\left[\frac{x \mu }{\sqrt{2}}\right]}}{C_1+\int _1^xe^{-\left(\Lambda
-2 \mu ^2\right) y-3 \sqrt{2} \mu  \th\left[\frac{\mu  y}{\sqrt{2}}\right]} dy}$$
то есть, если я не ошибаюсь:
$$u=\frac{d}{dx} \ln \left[C_1+\int_1^x e^{y \left(2 \mu ^2-\Lambda \right)-3 \sqrt{2} \mu  \th
\left(\frac{\mu  y}{\sqrt{2}}\right)} \, dy\right]$$
и тогда из $(\ln f)'=u=(\ln \Psi)'$ получаем
$$f=C \Psi=C_1+C_2 \int_1^x e^{y \left(2 \mu ^2-\Lambda \right)-3 \sqrt{2} \mu  \th
\left(\frac{\mu  y}{\sqrt{2}}\right)} \ dy$$
где $C_1,C_2$ – произвольные постоянные.
Во-первых, это какое-то уродство. Во-вторых, ничего не понятно про собственные значения $\lambda$, а как бы основная цель задачи: показать, что они неотрицательны (для первого уравнения, в котором коэффициент $3$ при $\th^2$). Ну и кроме всего этого при подстановке $f$ в исходное уравнение что-то там не особо оно удовлетворяется.

2. Такое замечание. В пределе, при больших $x$ получаются следующие уравнения:
$$-f''=(\lambda_1-2) f$$ для первого уравнения и $$-f''=\lambda_2 f$$ для второго. Можно предположить, что если вдруг $\lambda_1$ – собственное значение первого уравнения, то $\lambda_2=\lambda_1-2$ – СЗ второго. Ну и в таком случае спектр СЗ 2-го ДУ уже может содержать отрицательные значения.

3. Если как-то угадать частное решение, то можно по известной формуле найти общее. Я пробовал всякие простые варианты, но они вообще ничего не дали.

Ну вот собственно такая задача. Идей как решать такое ДУ в лоб у меня нет вообще. Буду рад любой помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: #Р7.3# Дифференциальное уравнение (Рубаков 7.3)
Сообщение21.08.2014, 13:12 


24/07/14
138
_Er в сообщении #897928 писал(а):
...получаем
$$f=C \Psi=C_1+C_2 \int_1^x e^{y \left(2 \mu ^2-\lambda \right)-3 \sqrt{2} \mu  \th
\left(\frac{\mu  y}{\sqrt{2}}\right)} \ dy$$
где $C_1,C_2$ – произвольные постоянные.
... ничего не понятно про собственные значения $\lambda$...
Вот вспомнил, что, когда эту задачу пробовал решить, были мысли, что, возможно, в полученном выше $f$ собственные значения определяются из соображений сходимости интеграла. Наверное, даже правильнее будет говорить об ограниченности $f$. То есть, может быть, этот интеграл сходится и ограничен для любых $x$ только при положительных значениях $\lambda$, например при $\lambda>2\mu^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: #Р7.3# Дифференциальное уравнение (Рубаков 7.3)
Сообщение21.08.2014, 20:04 
Заслуженный участник


09/01/06
800
А где условия на концах, если говорить о собственных значениях?
Там нет случайно быстрого убывания на бесконечностях? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: #Р7.3# Дифференциальное уравнение (Рубаков 7.3)
Сообщение21.08.2014, 20:59 


24/07/14
138
V.V., похоже, что есть. Вообще к функции $f$ в этой задаче мы приходим следующим образом. Есть некоторое решение $\varphi_k(x)$(в данном случае решение статическое) уравнений поля. Исследуется вопрос его устойчивости. Рассматриваются малые возмущения $\phi(x,t)$ около этого решения. Поле $$\varphi(x,t)=\varphi_k(x)+\phi(x,t)$$
должно удовлетворять уравнениям поля. Для конечности энергии требуется достаточно быстрое убывание $\varphi(x,t)$ на бесконечности. В таком случае убывать должно $\phi(x,t)$.
Позже, разделяя переменные в уравнениях для $\phi(x,t)$, получим, что $\phi(x,t)$ можно искать в виде:
$$\phi(x,t)=e^{i\omega t}f_\omega(x)$$
где $f_\omega$ удовлетворяет уравнению, которое записано в условии задачи, с $\lambda=\omega^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group