2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение20.08.2014, 23:11 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Понятно, что случай $p-1\mid n$ не подходит нам. Рассматриваем случай $p-1\nmid n$ и получаем, что $n=(p-1)d+r,$ где $d\in \mathbb{Z}$ и $0<r<p-1$. Задача сводится к следующей:
Пусть $0<r<p-1$. Доказать, что существует $a$ такой, что $(a,p)=1$ и $a^r\not\equiv 1 \pmod{p}$.
Рассуждение от противного ни к чему не приводит пока что

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение20.08.2014, 23:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Whitaker в сообщении #897985 писал(а):
Рассуждение от противного ни к чему не приводит пока что
Должны приводить. Давайте вместо $a$ напишем $x$: пусть $x^r \equiv 1 \pmod{p}$ для всех $x$. Ну как, видно противоречие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение20.08.2014, 23:42 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Может ночью я настолько не соображаю, что не вижу противоречия. Но я еще подумаю :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение20.08.2014, 23:46 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Давайте до утра отложим. Такие вещи хорошо додумывать во сне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение21.08.2014, 00:04 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
nnosipov
$x^{r}-1\equiv 0 \pmod{p}$ по теореме Лагранжа имеет не более $r$ корней, но у нас $0<r<p-1$.
Противоречие!

(Оффтоп)

Лег спать. Пришла такая идея. Встал. Включил комп и написал :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение21.08.2014, 00:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Всё верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение21.08.2014, 00:16 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Умножение на $a^n$ проходит когда $p-1\nmid n$.
А в случае $p-1\mid n$ пользуемся МТФ. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение21.08.2014, 09:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да, именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение21.08.2014, 11:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Whitaker в сообщении #897994 писал(а):
$x^{r}-1\equiv 0 \pmod{p}$ по теореме Лагранжа имеет не более $r$ корней, но у нас $0<r<p-1$.
Противоречие!
После решения я добавлю групповые соображения как более общие:
Мультипликативная группа вычетов циклична. А если $a^r=1, b^r=1$, то $(ab)^r=1$, т.е. множество корней $r$-й степени из единицы - это подгруппа, да еще и цикличная как подгруппа циклической группы. Значит ее мощность равна $r$, а $r<p$.
А исходная сумма попросту $\equiv\frac{p-1}{d}\sum\limits_{k=0}^{d-1}g^{k\frac{p-1}{d}}, d=\gcd(n,p-1)$.

(Оффтоп)

в частности, не нужно знать какую-то неведомую теорему Лагранжа

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение21.08.2014, 11:45 
Заслуженный участник


20/12/10
8858

(Оффтоп)

Теорема Лагранжа --- так, вероятно, называется этот простой факт то ли у Виноградова, то ли у Бухштаба. Понятно, что это частный случай почти очевидной теоремы о том, что у многочлена над полем корней не более, чем его степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение21.08.2014, 14:42 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
nnosipov
Спасибо Вам большое за помощь в решении задачи! Узнал пару новых трюков :-)
П.С. Также благодарю Sonic86 за предоставленное "групповое" доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степеней по простому модулю [Теория чисел]
Сообщение21.08.2014, 15:03 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Не за что. Будем любить алгебру и абстрактные конструкции, ибо они облегчают жизнь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group