Топологическая задача

[Aritaborian]

Представим, что я по дороге не обнимал рекламные тумбы, а вращался внутри неких, хм, полых колонн. Разницы, полагаю, не будет.

Nemiroff в сообщении #897997 писал(а):

Этим вы фиксируете направление обхода кривой.

И? И что? Nemiroff, мне очень-очень интересно, в самом деле.

[Nemiroff]

Погодите.
Предполагаем о себе факт: мы находимся снаружи.
Допустим, вы заранее говорите, что держаться вы будете правой рукой. Вы слева от окружности, идёте вперед. Если при этом на окружности нарисовать стрелку, она зафиксирует поворот по часовой стрелке. Этим вы фиксируете обход по часовой стрелке "положительным".
Вы идёте вдоль стены.
Тогда, если вы на самом деле снаружи, вы будете поворачивать направо, сделаете оборот по часовой стрелке и подтвердите этим, что вы снаружи.
Если вы внутри, вы будете поворачивать налево, сделаете оборот против часовой стрелки и скажете: "Нет, я не снаружи."

Можно держаться левой рукой. Тогда "положительным" (в смысле тем, который подтвердит нахождение снаружи) будет поворот против часовой.
Если вы снаружи, то вам придётся поворачивать налево и сделать оборот против часовой.
Если внутри --- направо.

[Evgenjy]

Nemiroff в сообщении #898004 писал(а):

Тогда, если вы на самом деле снаружи, вы будете поворачивать направо, сделаете оборот по часовой стрелке и подтвердите этим, что вы снаружи.

Хорошее решение. Только одно уточнение. Нужно рисовать график угла поворота, поскольку может быть несколько полных поворотов по часовой стрелке и несколько против (отличающиеся на единицу). Нужен суммарный поворот.

Еще возможное решение.
Если бы поверхность была непромокаемой и без ямок и пригорков, то налив определенный объем воды по высоте слоя воды можно даже определить площадь участка, где наливаем. Правда, при этом мы рискуем промочить ноги, если мы внутри.

[g______d]

Проще взять длинную верёвку, обойти вокруг, замкнуть в петлю и посмотреть, стягивается ли она.

Проблема может быть, если есть какие-то ещё препятствия помимо стены. Если веревка не стягивается, то можно обойти вдоль неё и посмотреть, зацепилась ли она за что-то, кроме стены, отцепить (ликвидировать препятствие) и попробовать снова.

[Evgenjy]

g______d в сообщении #898019 писал(а):

Проще взять длинную верёвку, обойти вокруг, замкнуть в петлю и посмотреть, стягивается ли она.

Чисто топологическое решение. На языке алгебраической топологии означает: является ли гомотопическая группа $\pi_1$ тривиальной? Если допустить возможность наличия стены внутри области, огороженной другой стеной, то решение не пройдет, тогда как решение Nemiroff проходит и в этом случае. Находясь рядом с какой-то из стен (как в условии задачи) Nemiroff определит снаружи он или изнутри по отношению к этой стене.

[patzer2097]

Nemiroff в сообщении #898004 писал(а):

Если при этом на окружности нарисовать стрелку, она зафиксирует поворот по часовой стрелке.

Я не совсем понимаю, что значит "нарисовать стрелку на окружности"; в любом случае, как мы будем распознавать, произошел поворот против или по часовой стрелке, остается неясным. Это было бы ясно, если бы у человека был компас, но не в исходной формулировке.

[Nemiroff]

patzer2097 в сообщении #898083 писал(а):

Это было бы ясно, если бы у человека был компас, но не в исходной формулировке.

Компас-компас. Смотрите на стенку, проводите касательную. Делаете шаг вдоль стены, проводите ещё одну касательную.

Evgenjy в сообщении #898016 писал(а):

Нужно рисовать график угла поворота, поскольку может быть несколько полных поворотов по часовой стрелке и несколько против (отличающиеся на единицу). Нужен суммарный поворот.

Конечно же суммарный.

patzer2097 в сообщении #898083 писал(а):

Я не совсем понимаю, что значит "нарисовать стрелку на окружности"

А вот если бы на стене была нарисована большая жирная стрелка (в какую-то из сторон вдоль стены), и при этом вы бы знали, что добрый самаритянин, нарисовавший её, сделал так, что при взгляде на всю эту стену с высоты птичьего полета стрелка указывает направление обхода вдоль кривой против часовой стрелки (ну как мы привыкли определять "правильный" поворот). Что тогда?

[Aritaborian]

Nemiroff в сообщении #898004 писал(а):

Тогда, если вы на самом деле снаружи, вы будете поворачивать направо, сделаете оборот по часовой стрелке и подтвердите этим, что вы снаружи.
Если вы внутри, вы будете поворачивать налево, сделаете оборот против часовой стрелки и скажете: "Нет, я не снаружи."

Я, кажется, начинаю понимать ;-) Но не до конца ;-( ИМХО, ваше решение всё-таки предполагает наличие чего-то вроде компаса.

[patzer2097]

Nemiroff в сообщении #898088 писал(а):

Смотрите на стенку, проводите касательную. Делаете шаг вдоль стены, проводите ещё одну касательную.

не очень понимаю, как человек будет проводить касательные, если кривая из задачи негладкая. Впрочем, пока я ничего не понимаю даже в гладком случае; как человек будет рисовать касательную, если она проходит вне нашей области (т.е., если, например, он внутри круга или снаружи какой-то невыпуклой области)? И если он даже касательные нарисует, что дальше?

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #898088 писал(а):

А вот если бы на стене была нарисована большая жирная стрелка (в какую-то из сторон вдоль стены), и при этом вы бы знали, что добрый самаритянин, нарисовавший её, сделал так, что при взгляде на всю эту стену с высоты птичьего полета стрелка указывает направление обхода вдоль кривой против часовой стрелки (ну как мы привыкли определять "правильный" поворот). Что тогда?

Честно говоря, не знаю.

[Nemiroff]

patzer2097 в сообщении #898104 писал(а):

не очень понимаю, как человек будет проводить касательные, если кривая из задачи негладкая. Впрочем, пока я ничего не понимаю даже в гладком случае; как человек будет рисовать касательную, если она проходит вне нашей области (т.е., если, например, он внутри круга или снаружи какой-то невыпуклой области)?

Мда, с технической точки зрения компас и правда лучше.

patzer2097 в сообщении #898104 писал(а):

И если он даже касательные нарисует, что дальше?

Ну как --- считать общий поворот.

(Оффтоп)

patzer2097 в сообщении #898104 писал(а):

Честно говоря, не знаю.

Ну пусть она влево указывает, сходите вдоль такой стрелки, посмотрите, как она повернётся, прикиньте для простой окружности --- снаружи вы или внутри. Затем всё то же самое, только если стрелка вправо указывает.

[A-u-uuu]

Где-то сказано, что стена - ориентируемая поверхность ?
Человек движется только в одном измерении ?
"Туман" - это другое название локальности ?

[Aritaborian]

A-u-uuu в сообщении #898118 писал(а):

Где-то сказано, что стена - ориентируемая поверхность ?

Ну не лист же Мёбиуса, блин ;-) Стена себе и стена. Кусочно-гладкая, без самопересечений.

A-u-uuu в сообщении #898118 писал(а):

Человек движется только в одном измерении?

В двумерном пространстве (на евклидовой плоскости). Иначе задача вообще не имела бы смысла.

A-u-uuu в сообщении #898118 писал(а):

"Туман" - это другое название локальности ?

Это смотря что понимать под локальностью. Как я не устаю повторять, задача сформулирована расплывчато и предоставляет много возможностей для всяческих спекуляций.

[INGELRII]

Отходим от стены на половину "расстояния видимости" и идем вдоль, сохраняя расстояние между собой и стеной постоянным, сильно шаркая ногой по земле. Когда эта линия замкнется, отступаем от нее еще на то же расстояние и прошаркиваем новую линию на постоянном расстоянии от той. Повторяем итерации. Если мы внутри, итерации сойдутся к точке или самопересекающейся линии. Если снаружи, не сойдутся ни к чему, плюс их длина будет неограниченно возрастать, что мы обязательно заметим.

Времени, конечно, процедура занимает много, зато работать придется исключительно ногами, а голова отдохнет.

[Sicker]

ага, только вы никогда не сможете доказать, что вы снаружи

[Aritaborian]

INGELRII в сообщении #898144 писал(а):

Если снаружи, не сойдутся ни к чему

Это нельзя будет заметить за ограниченное время.

INGELRII в сообщении #898144 писал(а):

их длина будет неограниченно возрастать, что мы обязательно заметим.

А у нас есть прибор для измерения длины прошарканной линии?

-- 21.08.2014, 17:47 --

Sicker в сообщении #898147 писал(а):

ага, только вы никогда не сможете доказать, что вы снаружи

Ага, и я о том же ;-)