2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 n-Гамильтонизация
Сообщение18.08.2014, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
(Не уверен в разделе форума, возможно, это стоит отнести в "Помогите разобраться (Математика)" и его подразделы).

Механика с точки зрения математики есть задача системы обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных в явном виде. Обычно эта система выписывается либо в форме Лагранжа, $\tfrac{d^2}{dt^2}x(t)=F(x,\tfrac{d}{dt}x)$ в $d$-мерном конфигурационном пространстве, либо в форме Гамильтона $\tfrac{d}{dt}p(t)=F(x,p),\quad\tfrac{d}{dt}x(t)=p(t)$ в $2d$-мерном фазовом пространстве. Переход от формы Лагранжа к форме Гамильтона (ниже "гамильтонизация"), сам по себе очевидный, ведёт ко многим интересным математическим понятиям и идеям. Например:
- в конфигурационном пространстве может быть задана евклидова/гильбертова метрика (скалярное произведение и расстояние), в фазовом пространстве им соответствует симплектическая "метрика" (скобка Пуассона);
- геометрия римановых многообразий даёт основу геометрии симплектических многообразий;
- от групп преобразований, сохраняющих евклидову метрику (ортогональные группы), можно перейти к симплектическим группам, сохраняющим симплектическую форму ("метрику").

Но в данной картине есть один "настроечный параметр" - это показатель порядка 2 в уравнениях Лагранжа. Очевидно, что можно записать СОДУ $n$-го порядка $\tfrac{d^n}{dt^n}x(t)=F(x,\tfrac{d}{dt}x,\ldots),$ и совершить аналогичную $n$-гамильтонизацию, увеличив размерность пространства с $d$ до $nd,$ записав систему "$n$-Гамильтона"
$$\dfrac{d}{dt}p_{n-1}(t)=F(x,p_1,\ldots),\qquad\dfrac{d}{dt}x(t)=p_1(t),\qquad\dfrac{d}{dt}p_1(t)=p_2(t),\qquad\ldots$$ Возникает вопрос, происходит ли при этом столь же естественное $n$-обобщение всех перечисленных (и неперечисленных) понятий? Например, стандартная "$n$-симплектическая матрица" могла бы иметь вид
$$\Omega_{(n,d)}=\begin{pmatrix}0&I_d&&0\\&&\ddots&\\&0&&I_d\\(-1)^{n-1}I_d&&&0\\\end{pmatrix},$$ и так далее.

Известно ли кому-нибудь что-нибудь о таких обобщениях? Если это вещь общеизвестная, то как называется, и куда мне копать?

 Профиль  
                  
 
 Re: n-Гамильтонизация
Сообщение18.08.2014, 22:02 


10/02/11
6786
известно, что любую систему $\dot x^i=v^i(x)$ можно "сделать" гамильтоновой ценой увеличения порядка вдвое (поднять в кокасательное расслоение). Гамильтониан $H(x,p)=p_iv^i$. Что используется в теории управления. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона (и обратно) не является тривиальным: это преобразование Лежандра, которое не всегда можно применить, например к гамильтониану , написанному выше, нельзя.
Про метрику в конфигурационном пространстве я знаю только в связи с натуральными системами.

-- Пн авг 18, 2014 22:07:13 --

Munin в сообщении #897180 писал(а):
в конфигурационном пространстве может быть задана евклидова/гильбертова метрика (скалярное произведение и расстояние), в фазовом пространстве им соответствует симплектическая "метрика"

что значит "может быть задана" и что значит "соответствует" , вообще говоря, непонятно.

-- Пн авг 18, 2014 22:26:09 --

Munin в сообщении #897180 писал(а):
либо в форме Гамильтона $\tfrac{d}{dt}p(t)=F(x,p),\quad\tfrac{d}{dt}x(t)=p(t)$

а это разве гамильтонова система? а какой у нее гамильтониан?

 Профиль  
                  
 
 Re: n-Гамильтонизация
Сообщение19.08.2014, 04:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я специально избегал преобразования Лежандра. Мой вопрос более простой. Хотел добавить это примечание даже в первое сообщение.

-- 19.08.2014 06:02:07 --

Oleg Zubelevich в сообщении #897188 писал(а):
что значит "может быть задана" и что значит "соответствует" , вообще говоря, непонятно.

Начал писать ответ, и понял, что сам недостаточно понимаю. Моё знакомство с симплектической структурой только самое начальное.

 Профиль  
                  
 
 Re: n-Гамильтонизация
Сообщение20.08.2014, 21:10 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Насчет обобщений посмотрите здесь
http://www1.jinr.ru/Pepan/2008-v39/v-39-5/pdf/05_prok.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: n-Гамильтонизация
Сообщение20.08.2014, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Спасибо! Значит, называется эта штука "механика Остроградского".

Oleg Zubelevich в сообщении #897188 писал(а):
что значит "может быть задана" и что значит "соответствует" , вообще говоря, непонятно.

Отвечая на этот вопрос, видимо, правильная логическая цепочка такая: сначала ввести метрику (евклидову и симплектическую) вообще, а потом уже делать её локальной на многообразии. В этом смысле, у меня пункты переставлены.

-- 20.08.2014 22:47:24 --

Munin в сообщении #897968 писал(а):
Значит, называется эта штука "механика Остроградского".

А, не совсем она.

 Профиль  
                  
 
 Re: n-Гамильтонизация
Сообщение13.09.2014, 04:37 
Заслуженный участник


06/02/11
356
http://arxiv.org/pdf/0712.0946.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: n-Гамильтонизация
Сообщение13.09.2014, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Спасибо.

Кажется, это похоже на предыдущие ссылки.

Но у меня мысль была другая. Здесь по-прежнему рассматривается $2D$-мерное пространство, и симплектическая форма, связывающая между собой две координаты: сопряжённые координату и импульс. А у меня была мысль про $(N+1)D$-мерное пространство, и форму (уже не симплектическую!), связывающую между собой $N+1$ координат: сопряжённые координату и последовательность "старших импульсов".

В обозначениях статьи, это было бы экономией: вместо $2Nn$-мерного пространства, было бы $(N+1)n$-мерное пространство.

-- 13.09.2014 14:02:08 --

Может быть, мою мысль уже не так уж хорошо $n$-гамильтонизацией называть, но может быть, $n$-симплектизацией её назвать всё-таки можно...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group