2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифур методом стрельбы
Сообщение18.08.2014, 16:04 


20/12/13
139
Дано уравнение
$y''+y' \sin(x)+ y \cos(x)=0$ с краевыми условиями
$y(0)=\alpha$, $y'(\frac{\pi}{4})=\beta$

Я поступал так: приведём уравнение второго ряда к системе уравнений первого ряда
$z=y'$, $z'=y''$
Тогда имеем:
$z'+z \sin(x) + y \cos(x)=0$
$z=y'$
$y(0)=\alpha$, $z(\frac{\pi}{4})=\beta$

Или в другой записи
$\vec y' = \vec f (\vec y, x)$, где
$\vec y=(y, z)^T$, $\vec f=(-z' \sin (x) - y \cos (x), y)^T$
И, соответственно, краевые условия
$\vec r(\vec y(0), \vec y(\frac{\pi}{4}))=(y(0)-\alpha, z(\frac{\pi}{4})-\beta)=\vec 0$
Затем я решаю задачу
$\vec y(0)=(y(0), z(0))=\vec \alpha = (\alpha, \alpha')$ и получаю решение $\vec y(\vec \alpha, x)$
и затем с помощью метода Ньютона нахожу корень уравнения
$\vec F(\vec y(\alpha, x))=\vec r(\vec \alpha, \vec y (\vec \alpha, \frac{\pi}{4}))=0$
То есть итерации
$\vec \alpha_{k+1}=\vec \alpha_k - F'^{-1} (\vec \alpha_k) \cdot F(\alpha)$, где
$F' (\vec \alpha_k)=\begin{pmatrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial \alpha_1} & \frac{\partial F_{1}}{\partial \alpha_2}  \\ \frac{\partial F_{2}}{\partial \alpha_1}  & \frac{\partial F_{2}}{\partial \alpha_2}  \end{pmatrix}$, но

$F' (\vec \alpha_k)=\begin{pmatrix} -1 & 0  \\ 0  & 0 \end{pmatrix}$, а эта матрица обратной матрицы не имеет, что в этом случае делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифур методом стрельбы
Сообщение18.08.2014, 16:20 


10/02/11
6786
Felt в сообщении #897092 писал(а):
Дано уравнение
$y''+y' \sin(x)+ y \cos(x)=0$ с краевыми условиями
$y(0)=\alpha$, $y'(\frac{\pi}{4})=\beta$

Пусть $Y(x)$ -- фундаментальная матрица системы $y'=z,\quad z'=...$
Вам надо найти численно $W=Y(\pi/4)$, а потом решить систему линейных уравнений
$W\cdot(\alpha,v)^T=(u,\beta)^T$ относително неизвестных $u,v$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифур методом стрельбы
Сообщение18.08.2014, 18:59 


02/11/08
1187
Ну не обязательно использовать метод Ньютона - попробуйте метод половинного деления. Только не всегда, наверное, эта задача будет иметь решение. Там вроде цикл есть, через который не перескочить интегральной кривой - wolfram.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифур методом стрельбы
Сообщение18.08.2014, 19:07 


10/02/11
6786
Yu_K в сообщении #897129 писал(а):
Там вроде цикл есть, через который не перескочить интегральной кривой


Не пойдет. Система неавтономная

-- Пн авг 18, 2014 19:09:42 --

задача имеет решение и при том единственное при любых значениях $\alpha,\beta$

-- Пн авг 18, 2014 19:15:58 --

$$W\simeq \left( \begin{matrix}0.7461& 0.6499 \\ -0.5275 & 0.5404 \end{matrix} \right) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифур методом стрельбы
Сообщение19.08.2014, 08:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Felt в сообщении #897092 писал(а):
Дифур методом стрельбы

Метод пристрелки актуален для поиска собственных чисел, у Вас же -- просто фиксированная краевая задача, в которой правые части линейны по параметрам. Потому воспользуйтесь советом Oleg Zubelevich, расшифровав всё им зашифрованное (в частности, заменив слово "фундаментальная" на более уместное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифур методом стрельбы
Сообщение19.08.2014, 12:35 


20/12/13
139
У меня задание - решить это уравнение именно методом стрельбы.
Но выход есть другой: воспользоваться тем, что краевые условия линейны и можно даже обойтись без итераций и найти нужные начальные условия только решив систему уравнений, поскольку если условия выглядят как:
$U \vec y (0) + V \vec y(b) = c$
то найдя решение
$\varphi_i (x)$, являющееся решением уравнения с начальными условями $\vec y (a) = e_i$ и $\vec y(x, 0)$ решение условий $\vec y(a)=\vec 0$. Обозначим $\varphi (x) = (\varphi_1, ..., \varphi_n)$, тогда $\vec y(x, \alpha) (x)=\varphi (x) \cdot \vec \alpha + \vec y(x, 0)$ является решением условия $\vec y(a)=\vec \alpha$. Благодаря линейности
$U \alpha + V \varphi (b) \cdot \vec \alpha + V \vec y (b,0)=(U + V \varphi (b)) \cdot \vec \alpha + V \vec y (b,0)= c$
остается только решить систему для $\vec \alpha$ и найти нужные начальные условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифур методом стрельбы
Сообщение19.08.2014, 13:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Felt в сообщении #897349 писал(а):
У меня задание - решить это уравнение именно методом стрельбы.

Значит, задавальщик просто не понимает, что такое метод стрельбы.

Felt в сообщении #897349 писал(а):
остается только решить систему для $\vec \alpha$ и найти нужные начальные условия.

Это всё тоже в данном случае довольно бессмысленно. Надо просто взять два решения (найденные, естественно, численно): $y_0(x)$, удовлетворяющее условию $y_0(0)=0$, и $y_1(x)$, удовлетворяющее условию $y_1(0)=1$. Условия на производную в нуле можно взять какие угодно (но, естественно, $y_0'(0)\neq0$); например, для определённости пусть $y_0'(0)=1,\ y_1'(0)=0$, т.е. пусть это пара канонических решений, хотя такой выбор и необязателен. В любом случае решением исходной задачи будет просто $y(x)=\alpha\,y_1(x)+\dfrac{\beta-\alpha\,y_1'(b)}{y_0'(b)}\,y_0(x)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group