Площадь выпуклого четырехугольника. Оценка сверху.

[Побережный Александр]

Задан произвольный выпуклый четырехугольник со сторонами $a, b, c, d$.
Доказать, что всегда выполнятся неравенство $S\le\frac{ab+cd}2$.

Вариант решения.
Диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Стороны $a$ и $b$ соприкасаются.
Соответственно, $S=\frac{ab\sin{\alpha}}{2}+\frac{cd\sin{\beta}}{2}\leS\le\frac{ab+cd}2$.
А вот когда $a$ и $b$ не соприкасаются доказательство такое не проходит...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gris]

А нельзя ли как-нибудь поменять порядок сторон без изменения площади? Одну диагональ Вы провели...

[scwec]

Если вписанный, то можно поменять...

[gris]

В просто выпуклом тоже можно поменять.
Sort of $<a,b,c,d>\to<a,b,d,c>$

[scwec]

На этом и всё.

[Побережный Александр]

Ну как же я до этого не додумался! Спасибо, я то я на этом случае застопорился совсем.

[ewert]

gris в сообщении #896951 писал(а):

В просто выпуклом тоже можно поменять.

Между прочим, не факт. Зачем он вообще выпуклый?!

[gris]

Как не факт? Я имею в виду, что можно построить четырёхугольник такой же площади и такими же длинами сторон с их перестановкой другой чётности. Наглядно: режем четырёхугольник по диагонали и переворачиваем одну половинку ясно как. Ну а потом применяем уже блестяще доказанное ТС неравенство для смежных сторон и получаем неравенство для противоположных сторон. Для невыпуклого не всегда пройдёт, но для невыпуклого можно построить выпуклый с такими же длинами сторон, но большей площади. Так что неравенство сохранится. Правда тут немного придётся повозиться с условиями, когда достигается равенство, но это занудно, но несложно.

[ewert]

gris в сообщении #897296 писал(а):

Я имею в виду, что можно построить четырёхугольник такой же площади и такими же длинами сторон с их перестановкой другой чётности.

Но он уже не факт что останется выпуклым.

gris в сообщении #897296 писал(а):

но это занудно,

Да какое там занудство. Надо просто с самого начала отказаться от требования выпуклости.

[gris]

Да, Вы правы. Я, как обычно, поторопился и сказал совершенно неточно. Надо было: "Можно построить выпуклый четырёхугольник не меньшей площади..." Обидно и стыдно, что на самом деле я просто зевнул, что четырёхугольник может стать невыпуклым. Конечно, его легко превратить в выпуклый. не меняя чередования сторон и увеличивая площадь. Но вот такая простая мелочь, а я сглупил. Теперь я понимаю, что означают слова. которые грустно сказал scwec "На этом и всё". Это приговор мне бестолковому.